Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67941 / 69087
↖ ↑ ↗
← S  9.706350°
E  6.605530°		 ← 301.05 m → S  9.706350°
E  6.608276°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.709057°
E  6.605530°		 ← 301.05 m →
90 626 m²		 S  9.709057°
E  6.608276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518352508544922 y=0.527095794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518352508544922 × 217)
    floor (0.518352508544922 × 131072)
    floor (67941.5)     		tx = 67941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527095794677734 × 217)
    floor (0.527095794677734 × 131072)
    floor (69087.5)     		ty = 69087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67941 / 69087 ti = "17/67941/69087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67941/69087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67941 ÷ 217
    67941 ÷ 131072     		x = 0.518348693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69087 ÷ 217
    69087 ÷ 131072     		y = 0.527091979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518348693847656 × 2 - 1) × π
    0.0366973876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11528824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527091979980469 × 2 - 1) × π
    -0.0541839599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.170223930550819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11528824} λ = 0.11528824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.170223930550819))-π/2
    2×atan(0.843475915420458)-π/2
    2×0.70069428208508-π/2
    1.40138856417016-1.57079632675     		φ = -0.16940776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11528824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.605530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16940776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.706350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67941 KachelY 69087 0.11528824 -0.16940776 6.605530 -9.706350
    Oben rechts KachelX + 1 67942 KachelY 69087 0.11533618 -0.16940776 6.608276 -9.706350
    Unten links KachelX 67941 KachelY + 1 69088 0.11528824 -0.16945501 6.605530 -9.709057
    Unten rechts KachelX + 1 67942 KachelY + 1 69088 0.11533618 -0.16945501 6.608276 -9.709057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16940776--0.16945501) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16940776--0.16945501) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11528824-0.11533618) × cos(-0.16940776) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98568479061207 × 6371000     		do = 301.053506579413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11528824-0.11533618) × cos(-0.16945501) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985676823227132 × 6371000     		du = 301.051073134973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16940776)-sin(-0.16945501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98568479061207-0.985676823227132)×R²
    abs(0.11533618-0.11528824)×7.96738493802351e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.96738493802351e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.96738493802351e-06×40589641000000     		ar = 90625.6955694751m²