Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67940 / 69676
↖ ↑ ↗
← S 11.296934°
E  6.602783°		 ← 299.45 m → S 11.296934°
E  6.605530°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
S 11.299628°
E  6.602783°		 ← 299.44 m →
89 684 m²		 S 11.299628°
E  6.605530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518344879150391 y=0.531589508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518344879150391 × 217)
    floor (0.518344879150391 × 131072)
    floor (67940.5)     		tx = 67940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531589508056641 × 217)
    floor (0.531589508056641 × 131072)
    floor (69676.5)     		ty = 69676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67940 / 69676 ti = "17/67940/69676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67940/69676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67940 ÷ 217
    67940 ÷ 131072     		x = 0.518341064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69676 ÷ 217
    69676 ÷ 131072     		y = 0.531585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518341064453125 × 2 - 1) × π
    0.03668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11524031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.06317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.198458764427032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11524031} λ = 0.11524031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198458764427032))-π/2
    2×atan(0.81999358294849)-π/2
    2×0.686813812715055-π/2
    1.37362762543011-1.57079632675     		φ = -0.19716870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11524031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.602783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19716870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.296934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67940 KachelY 69676 0.11524031 -0.19716870 6.602783 -11.296934
    Oben rechts KachelX + 1 67941 KachelY 69676 0.11528824 -0.19716870 6.605530 -11.296934
    Unten links KachelX 67940 KachelY + 1 69677 0.11524031 -0.19721571 6.602783 -11.299628
    Unten rechts KachelX + 1 67941 KachelY + 1 69677 0.11528824 -0.19721571 6.605530 -11.299628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19716870--0.19721571) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dl = 299.500709999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19716870--0.19721571) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dr = 299.500709999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11524031-0.11528824) × cos(-0.19716870) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980625141334531 × 6371000     		do = 299.445683826959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11524031-0.11528824) × cos(-0.19721571) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980615931289278 × 6371000     		du = 299.442871428844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19716870)-sin(-0.19721571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980625141334531-0.980615931289278)×R²
    abs(0.11528824-0.11524031)×9.21004525311631e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.21004525311631e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.21004525311631e-06×40589641000000     		ar = 89683.7737714744m²