Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67939 / 47308
↖ ↑ ↗
← N 44.692088°
E  6.600037°		 ← 217.13 m → N 44.692088°
E  6.602783°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
N 44.690136°
E  6.600037°		 ← 217.13 m →
47 144 m²		 N 44.690136°
E  6.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518337249755859 y=0.360935211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518337249755859 × 217)
    floor (0.518337249755859 × 131072)
    floor (67939.5)     		tx = 67939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360935211181641 × 217)
    floor (0.360935211181641 × 131072)
    floor (47308.5)     		ty = 47308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67939 / 47308 ti = "17/67939/47308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67939/47308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67939 ÷ 217
    67939 ÷ 131072     		x = 0.518333435058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47308 ÷ 217
    47308 ÷ 131072     		y = 0.360931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518333435058594 × 2 - 1) × π
    0.0366668701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11519237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360931396484375 × 2 - 1) × π
    0.27813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.873793806274384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11519237} λ = 0.11519237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873793806274384))-π/2
    2×atan(2.39598353000336)-π/2
    2×1.17541020634824-π/2
    2.35082041269648-1.57079632675     		φ = 0.78002409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11519237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.600037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78002409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.692088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67939 KachelY 47308 0.11519237 0.78002409 6.600037 44.692088
    Oben rechts KachelX + 1 67940 KachelY 47308 0.11524031 0.78002409 6.602783 44.692088
    Unten links KachelX 67939 KachelY + 1 47309 0.11519237 0.77999001 6.600037 44.690136
    Unten rechts KachelX + 1 67940 KachelY + 1 47309 0.11524031 0.77999001 6.602783 44.690136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78002409-0.77999001) × R
    3.40799999999364e-05 × 6371000     		dl = 217.123679999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78002409-0.77999001) × R
    3.40799999999364e-05 × 6371000     		dr = 217.123679999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11519237-0.11524031) × cos(0.78002409) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.710896595804789 × 6371000     		do = 217.126118837142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11519237-0.11524031) × cos(0.77999001) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.7109205637382 × 6371000     		du = 217.13343926094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78002409)-sin(0.77999001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710896595804789-0.7109205637382)×R²
    abs(0.11524031-0.11519237)×2.39679334115284e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39679334115284e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39679334115284e-05×40589641000000     		ar = 47144.0166692032m²