Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67938 / 69262
↖ ↑ ↗
← S 10.179781°
E  6.597290°		 ← 300.62 m → S 10.179781°
E  6.600037°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
S 10.182484°
E  6.597290°		 ← 300.62 m →
90 360 m²		 S 10.182484°
E  6.600037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518329620361328 y=0.528430938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518329620361328 × 217)
    floor (0.518329620361328 × 131072)
    floor (67938.5)     		tx = 67938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528430938720703 × 217)
    floor (0.528430938720703 × 131072)
    floor (69262.5)     		ty = 69262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67938 / 69262 ti = "17/67938/69262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67938/69262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67938 ÷ 217
    67938 ÷ 131072     		x = 0.518325805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69262 ÷ 217
    69262 ÷ 131072     		y = 0.528427124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518325805664062 × 2 - 1) × π
    0.036651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11514443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528427124023438 × 2 - 1) × π
    -0.056854248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.178612887984329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11514443} λ = 0.11514443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178612887984329))-π/2
    2×atan(0.836429628692773)-π/2
    2×0.696562817666739-π/2
    1.39312563533348-1.57079632675     		φ = -0.17767069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11514443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.597290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17767069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.179781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67938 KachelY 69262 0.11514443 -0.17767069 6.597290 -10.179781
    Oben rechts KachelX + 1 67939 KachelY 69262 0.11519237 -0.17767069 6.600037 -10.179781
    Unten links KachelX 67938 KachelY + 1 69263 0.11514443 -0.17771787 6.597290 -10.182484
    Unten rechts KachelX + 1 67939 KachelY + 1 69263 0.11519237 -0.17771787 6.600037 -10.182484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17767069--0.17771787) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dl = 300.58378000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17767069--0.17771787) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dr = 300.58378000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11514443-0.11519237) × cos(-0.17767069) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984258038774885 × 6371000     		do = 300.617739843745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11514443-0.11519237) × cos(-0.17771787) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984249699208293 × 6371000     		du = 300.615192725447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17767069)-sin(-0.17771787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984258038774885-0.984249699208293)×R²
    abs(0.11519237-0.11514443)×8.33956659174184e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.33956659174184e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.33956659174184e-06×40589641000000     		ar = 90360.4337828471m²