Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67936 / 69089
↖ ↑ ↗
← S  9.711764°
E  6.591797°		 ← 301.05 m → S  9.711764°
E  6.594544°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.714471°
E  6.591797°		 ← 301.05 m →
90 624 m²		 S  9.714471°
E  6.594544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518314361572266 y=0.527111053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518314361572266 × 217)
    floor (0.518314361572266 × 131072)
    floor (67936.5)     		tx = 67936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527111053466797 × 217)
    floor (0.527111053466797 × 131072)
    floor (69089.5)     		ty = 69089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67936 / 69089 ti = "17/67936/69089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67936/69089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67936 ÷ 217
    67936 ÷ 131072     		x = 0.518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69089 ÷ 217
    69089 ÷ 131072     		y = 0.527107238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518310546875 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527107238769531 × 2 - 1) × π
    -0.0542144775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17031980435006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11504856} λ = 0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17031980435006))-π/2
    2×atan(0.84339505205628)-π/2
    2×0.70064703179419-π/2
    1.40129406358838-1.57079632675     		φ = -0.16950226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16950226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.711764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67936 KachelY 69089 0.11504856 -0.16950226 6.591797 -9.711764
    Oben rechts KachelX + 1 67937 KachelY 69089 0.11509650 -0.16950226 6.594544 -9.711764
    Unten links KachelX 67936 KachelY + 1 69090 0.11504856 -0.16954951 6.591797 -9.714471
    Unten rechts KachelX + 1 67937 KachelY + 1 69090 0.11509650 -0.16954951 6.594544 -9.714471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16950226--0.16954951) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16950226--0.16954951) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11504856-0.11509650) × cos(-0.16950226) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985668853641609 × 6371000     		do = 301.048639018504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11504856-0.11509650) × cos(-0.16954951) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985660881855518 × 6371000     		du = 301.046204229838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16950226)-sin(-0.16954951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985668853641609-0.985660881855518)×R²
    abs(0.11509650-0.11504856)×7.97178609035498e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.97178609035498e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.97178609035498e-06×40589641000000     		ar = 90624.230086544m²