Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67935 / 69226
↖ ↑ ↗
← S 10.082445°
E  6.589050°		 ← 300.71 m → S 10.082445°
E  6.591797°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.085150°
E  6.589050°		 ← 300.71 m →
90 426 m²		 S 10.085150°
E  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518306732177734 y=0.528156280517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518306732177734 × 217)
    floor (0.518306732177734 × 131072)
    floor (67935.5)     		tx = 67935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528156280517578 × 217)
    floor (0.528156280517578 × 131072)
    floor (69226.5)     		ty = 69226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67935 / 69226 ti = "17/67935/69226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67935/69226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67935 ÷ 217
    67935 ÷ 131072     		x = 0.518302917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69226 ÷ 217
    69226 ÷ 131072     		y = 0.528152465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518302917480469 × 2 - 1) × π
    0.0366058349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11500062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528152465820312 × 2 - 1) × π
    -0.056304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.176887159598007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11500062} λ = 0.11500062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176887159598007))-π/2
    2×atan(0.837874325264568)-π/2
    2×0.697412227805324-π/2
    1.39482445561065-1.57079632675     		φ = -0.17597187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11500062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.589050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17597187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.082445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67935 KachelY 69226 0.11500062 -0.17597187 6.589050 -10.082445
    Oben rechts KachelX + 1 67936 KachelY 69226 0.11504856 -0.17597187 6.591797 -10.082445
    Unten links KachelX 67935 KachelY + 1 69227 0.11500062 -0.17601907 6.589050 -10.085150
    Unten rechts KachelX + 1 67936 KachelY + 1 69227 0.11504856 -0.17601907 6.591797 -10.085150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17597187--0.17601907) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17597187--0.17601907) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11500062-0.11504856) × cos(-0.17597187) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984556863403407 × 6371000     		do = 300.709008577041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11500062-0.11504856) × cos(-0.17601907) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98454859923485 × 6371000     		du = 300.706484487245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17597187)-sin(-0.17601907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984556863403407-0.98454859923485)×R²
    abs(0.11504856-0.11500062)×8.26416855659318e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.26416855659318e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.26416855659318e-06×40589641000000     		ar = 90426.1873257778m²