Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67934 / 47298
↖ ↑ ↗
← N 44.711610°
E  6.586304°		 ← 217.01 m → N 44.711610°
E  6.589050°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
N 44.709658°
E  6.586304°		 ← 217.01 m →
47 104 m²		 N 44.709658°
E  6.589050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518299102783203 y=0.360858917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518299102783203 × 217)
    floor (0.518299102783203 × 131072)
    floor (67934.5)     		tx = 67934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360858917236328 × 217)
    floor (0.360858917236328 × 131072)
    floor (47298.5)     		ty = 47298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67934 / 47298 ti = "17/67934/47298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67934/47298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67934 ÷ 217
    67934 ÷ 131072     		x = 0.518295288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47298 ÷ 217
    47298 ÷ 131072     		y = 0.360855102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518295288085938 × 2 - 1) × π
    0.036590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11495269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360855102539062 × 2 - 1) × π
    0.278289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.874273175270584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11495269} λ = 0.11495269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874273175270584))-π/2
    2×atan(2.39713236555912)-π/2
    2×1.17558056851996-π/2
    2.35116113703991-1.57079632675     		φ = 0.78036481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11495269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.586304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78036481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.711610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67934 KachelY 47298 0.11495269 0.78036481 6.586304 44.711610
    Oben rechts KachelX + 1 67935 KachelY 47298 0.11500062 0.78036481 6.589050 44.711610
    Unten links KachelX 67934 KachelY + 1 47299 0.11495269 0.78033074 6.586304 44.709658
    Unten rechts KachelX + 1 67935 KachelY + 1 47299 0.11500062 0.78033074 6.589050 44.709658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78036481-0.78033074) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dl = 217.059969999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78036481-0.78033074) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dr = 217.059969999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11495269-0.11500062) × cos(0.78036481) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.710656927346611 × 6371000     		do = 217.007641968131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11495269-0.11500062) × cos(0.78033074) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.71068089649837 × 6371000     		du = 217.014961236969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78036481)-sin(0.78033074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710656927346611-0.71068089649837)×R²
    abs(0.11500062-0.11495269)×2.39691517589513e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39691517589513e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39691517589513e-05×40589641000000     		ar = 47104.466620049m²