Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67931 / 68502
↖ ↑ ↗
← S  8.119053°
E  6.578064°		 ← 302.36 m → S  8.119053°
E  6.580810°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.121772°
E  6.578064°		 ← 302.36 m →
91 425 m²		 S  8.121772°
E  6.580810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518276214599609 y=0.522632598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518276214599609 × 217)
    floor (0.518276214599609 × 131072)
    floor (67931.5)     		tx = 67931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522632598876953 × 217)
    floor (0.522632598876953 × 131072)
    floor (68502.5)     		ty = 68502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67931 / 68502 ti = "17/67931/68502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67931/68502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67931 ÷ 217
    67931 ÷ 131072     		x = 0.518272399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68502 ÷ 217
    68502 ÷ 131072     		y = 0.522628784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518272399902344 × 2 - 1) × π
    0.0365447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11480887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522628784179688 × 2 - 1) × π
    -0.045257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.142180844273087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11480887} λ = 0.11480887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142180844273087))-π/2
    2×atan(0.86746436633724)-π/2
    2×0.714546057956508-π/2
    1.42909211591302-1.57079632675     		φ = -0.14170421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11480887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.578064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14170421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.119053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67931 KachelY 68502 0.11480887 -0.14170421 6.578064 -8.119053
    Oben rechts KachelX + 1 67932 KachelY 68502 0.11485681 -0.14170421 6.580810 -8.119053
    Unten links KachelX 67931 KachelY + 1 68503 0.11480887 -0.14175167 6.578064 -8.121772
    Unten rechts KachelX + 1 67932 KachelY + 1 68503 0.11485681 -0.14175167 6.580810 -8.121772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14170421--0.14175167) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14170421--0.14175167) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11480887-0.11485681) × cos(-0.14170421) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.989976747598825 × 6371000     		do = 302.364380718229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11480887-0.11485681) × cos(-0.14175167) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.989970043686867 × 6371000     		du = 302.362333170958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14170421)-sin(-0.14175167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989976747598825-0.989970043686867)×R²
    abs(0.11485681-0.11480887)×6.70391195856102e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.70391195856102e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.70391195856102e-06×40589641000000     		ar = 91424.900726255m²