Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67929 / 68500
↖ ↑ ↗
← S  8.113615°
E  6.572571°		 ← 302.37 m → S  8.113615°
E  6.575318°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.116334°
E  6.572571°		 ← 302.37 m →
91 407 m²		 S  8.116334°
E  6.575318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518260955810547 y=0.522617340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518260955810547 × 217)
    floor (0.518260955810547 × 131072)
    floor (67929.5)     		tx = 67929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522617340087891 × 217)
    floor (0.522617340087891 × 131072)
    floor (68500.5)     		ty = 68500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67929 / 68500 ti = "17/67929/68500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67929/68500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67929 ÷ 217
    67929 ÷ 131072     		x = 0.518257141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68500 ÷ 217
    68500 ÷ 131072     		y = 0.522613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518257141113281 × 2 - 1) × π
    0.0365142822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11471300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.04522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.142084970473846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11471300} λ = 0.11471300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142084970473846))-π/2
    2×atan(0.867547537428647)-π/2
    2×0.714593514693695-π/2
    1.42918702938739-1.57079632675     		φ = -0.14160930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11471300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.572571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14160930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.113615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67929 KachelY 68500 0.11471300 -0.14160930 6.572571 -8.113615
    Oben rechts KachelX + 1 67930 KachelY 68500 0.11476094 -0.14160930 6.575318 -8.113615
    Unten links KachelX 67929 KachelY + 1 68501 0.11471300 -0.14165675 6.572571 -8.116334
    Unten rechts KachelX + 1 67930 KachelY + 1 68501 0.11476094 -0.14165675 6.575318 -8.116334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14160930--0.14165675) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14160930--0.14165675) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11471300-0.11476094) × cos(-0.14160930) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.989990147321738 × 6371000     		do = 302.368473338515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11471300-0.11476094) × cos(-0.14165675) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.989983449280909 × 6371000     		du = 302.366427584438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14160930)-sin(-0.14165675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989990147321738-0.989983449280909)×R²
    abs(0.11476094-0.11471300)×6.69804082908954e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.69804082908954e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.69804082908954e-06×40589641000000     		ar = 91406.8746431292m²