Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67925 / 68395
↖ ↑ ↗
← S  7.828011°
E  6.561584°		 ← 302.58 m → S  7.828011°
E  6.564331°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.830732°
E  6.561584°		 ← 302.58 m →
91 548 m²		 S  7.830732°
E  6.564331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518230438232422 y=0.521816253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518230438232422 × 217)
    floor (0.518230438232422 × 131072)
    floor (67925.5)     		tx = 67925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521816253662109 × 217)
    floor (0.521816253662109 × 131072)
    floor (68395.5)     		ty = 68395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67925 / 68395 ti = "17/67925/68395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67925/68395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67925 ÷ 217
    67925 ÷ 131072     		x = 0.518226623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68395 ÷ 217
    68395 ÷ 131072     		y = 0.521812438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518226623535156 × 2 - 1) × π
    0.0364532470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11452125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521812438964844 × 2 - 1) × π
    -0.0436248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137051596013741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11452125} λ = 0.11452125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137051596013741))-π/2
    2×atan(0.871925237104978)-π/2
    2×0.717085885116266-π/2
    1.43417177023253-1.57079632675     		φ = -0.13662456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11452125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.561584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13662456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.828011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67925 KachelY 68395 0.11452125 -0.13662456 6.561584 -7.828011
    Oben rechts KachelX + 1 67926 KachelY 68395 0.11456919 -0.13662456 6.564331 -7.828011
    Unten links KachelX 67925 KachelY + 1 68396 0.11452125 -0.13667205 6.561584 -7.830732
    Unten rechts KachelX + 1 67926 KachelY + 1 68396 0.11456919 -0.13667205 6.564331 -7.830732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13662456--0.13667205) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dl = 302.558789999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13662456--0.13667205) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dr = 302.558789999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11452125-0.11456919) × cos(-0.13662456) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990681373674347 × 6371000     		do = 302.579591658681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11452125-0.11456919) × cos(-0.13667205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990674904423417 × 6371000     		du = 302.577615782928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13662456)-sin(-0.13667205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990681373674347-0.990674904423417)×R²
    abs(0.11456919-0.11452125)×6.46925093006345e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.46925093006345e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.46925093006345e-06×40589641000000     		ar = 91547.8162388452m²