Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67924 / 68506
↖ ↑ ↗
← S  8.129929°
E  6.558838°		 ← 302.29 m → S  8.129929°
E  6.561584°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.132648°
E  6.558838°		 ← 302.29 m →
91 403 m²		 S  8.132648°
E  6.561584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518222808837891 y=0.522663116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518222808837891 × 217)
    floor (0.518222808837891 × 131072)
    floor (67924.5)     		tx = 67924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522663116455078 × 217)
    floor (0.522663116455078 × 131072)
    floor (68506.5)     		ty = 68506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67924 / 68506 ti = "17/67924/68506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67924/68506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67924 ÷ 217
    67924 ÷ 131072     		x = 0.518218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68506 ÷ 217
    68506 ÷ 131072     		y = 0.522659301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518218994140625 × 2 - 1) × π
    0.03643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11447332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522659301757812 × 2 - 1) × π
    -0.045318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.142372591871567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11447332} λ = 0.11447332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142372591871567))-π/2
    2×atan(0.867298048074301)-π/2
    2×0.714451146410275-π/2
    1.42890229282055-1.57079632675     		φ = -0.14189403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11447332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.558838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14189403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.129929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67924 KachelY 68506 0.11447332 -0.14189403 6.558838 -8.129929
    Oben rechts KachelX + 1 67925 KachelY 68506 0.11452125 -0.14189403 6.561584 -8.129929
    Unten links KachelX 67924 KachelY + 1 68507 0.11447332 -0.14194149 6.558838 -8.132648
    Unten rechts KachelX + 1 67925 KachelY + 1 68507 0.11452125 -0.14194149 6.561584 -8.132648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14189403--0.14194149) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14189403--0.14194149) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11447332-0.11452125) × cos(-0.14189403) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989949921400261 × 6371000     		do = 302.293117597134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11447332-0.11452125) × cos(-0.14194149) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989943208569895 × 6371000     		du = 302.291067753626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14189403)-sin(-0.14194149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989949921400261-0.989943208569895)×R²
    abs(0.11452125-0.11447332)×6.71283036657311e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.71283036657311e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.71283036657311e-06×40589641000000     		ar = 91403.3527158885m²