Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67923 / 68505
↖ ↑ ↗
← S  8.127210°
E  6.556091°		 ← 302.36 m → S  8.127210°
E  6.558838°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.129929°
E  6.556091°		 ← 302.36 m →
91 404 m²		 S  8.129929°
E  6.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518215179443359 y=0.522655487060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518215179443359 × 217)
    floor (0.518215179443359 × 131072)
    floor (67923.5)     		tx = 67923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522655487060547 × 217)
    floor (0.522655487060547 × 131072)
    floor (68505.5)     		ty = 68505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67923 / 68505 ti = "17/67923/68505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67923/68505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67923 ÷ 217
    67923 ÷ 131072     		x = 0.518211364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68505 ÷ 217
    68505 ÷ 131072     		y = 0.522651672363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518211364746094 × 2 - 1) × π
    0.0364227294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11442538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522651672363281 × 2 - 1) × π
    -0.0453033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.142324654971947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11442538} λ = 0.11442538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142324654971947))-π/2
    2×atan(0.867339624650291)-π/2
    2×0.714474874055685-π/2
    1.42894974811137-1.57079632675     		φ = -0.14184658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11442538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.556091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14184658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.127210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67923 KachelY 68505 0.11442538 -0.14184658 6.556091 -8.127210
    Oben rechts KachelX + 1 67924 KachelY 68505 0.11447332 -0.14184658 6.558838 -8.127210
    Unten links KachelX 67923 KachelY + 1 68506 0.11442538 -0.14189403 6.556091 -8.129929
    Unten rechts KachelX + 1 67924 KachelY + 1 68506 0.11447332 -0.14189403 6.558838 -8.129929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14184658--0.14189403) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14184658--0.14189403) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11442538-0.11447332) × cos(-0.14184658) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.9899566305871 × 6371000     		do = 302.358236465036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11442538-0.11447332) × cos(-0.14189403) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.989949921400261 × 6371000     		du = 302.356187306681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14184658)-sin(-0.14189403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9899566305871-0.989949921400261)×R²
    abs(0.11447332-0.11442538)×6.70918683853827e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.70918683853827e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.70918683853827e-06×40589641000000     		ar = 91403.779481246m²