Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67923 / 47287
↖ ↑ ↗
← N 44.733077°
E  6.556091°		 ← 216.97 m → N 44.733077°
E  6.558838°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
N 44.731126°
E  6.556091°		 ← 216.98 m →
47 069 m²		 N 44.731126°
E  6.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518215179443359 y=0.360774993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518215179443359 × 217)
    floor (0.518215179443359 × 131072)
    floor (67923.5)     		tx = 67923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360774993896484 × 217)
    floor (0.360774993896484 × 131072)
    floor (47287.5)     		ty = 47287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67923 / 47287 ti = "17/67923/47287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67923/47287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67923 ÷ 217
    67923 ÷ 131072     		x = 0.518211364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47287 ÷ 217
    47287 ÷ 131072     		y = 0.360771179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518211364746094 × 2 - 1) × π
    0.0364227294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11442538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360771179199219 × 2 - 1) × π
    0.278457641601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.874800481166405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11442538} λ = 0.11442538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874800481166405))-π/2
    2×atan(2.39839672091026)-π/2
    2×1.175767900559-π/2
    2.35153580111799-1.57079632675     		φ = 0.78073947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11442538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.556091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78073947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.733077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67923 KachelY 47287 0.11442538 0.78073947 6.556091 44.733077
    Oben rechts KachelX + 1 67924 KachelY 47287 0.11447332 0.78073947 6.558838 44.733077
    Unten links KachelX 67923 KachelY + 1 47288 0.11442538 0.78070542 6.556091 44.731126
    Unten rechts KachelX + 1 67924 KachelY + 1 47288 0.11447332 0.78070542 6.558838 44.731126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78073947-0.78070542) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78073947-0.78070542) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11442538-0.11447332) × cos(0.78073947) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.71039328965816 × 6371000     		do = 216.972396184924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11442538-0.11447332) × cos(0.78070542) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.710417253804073 × 6371000     		du = 216.979715451923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78073947)-sin(0.78070542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71039328965816-0.710417253804073)×R²
    abs(0.11447332-0.11442538)×2.39641459133244e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39641459133244e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39641459133244e-05×40589641000000     		ar = 47069.1690823587m²