Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67922 / 68462
↖ ↑ ↗
← S  8.010277°
E  6.553345°		 ← 302.45 m → S  8.010277°
E  6.556091°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  8.012996°
E  6.553345°		 ← 302.44 m →
91 469 m²		 S  8.012996°
E  6.556091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518207550048828 y=0.522327423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518207550048828 × 217)
    floor (0.518207550048828 × 131072)
    floor (67922.5)     		tx = 67922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522327423095703 × 217)
    floor (0.522327423095703 × 131072)
    floor (68462.5)     		ty = 68462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67922 / 68462 ti = "17/67922/68462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67922/68462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67922 ÷ 217
    67922 ÷ 131072     		x = 0.518203735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68462 ÷ 217
    68462 ÷ 131072     		y = 0.522323608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518203735351562 × 2 - 1) × π
    0.036407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11437744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522323608398438 × 2 - 1) × π
    -0.044647216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.140263368288284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11437744} λ = 0.11437744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140263368288284))-π/2
    2×atan(0.869129304156381)-π/2
    2×0.715495314232121-π/2
    1.43099062846424-1.57079632675     		φ = -0.13980570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11437744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.553345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13980570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.010277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67922 KachelY 68462 0.11437744 -0.13980570 6.553345 -8.010277
    Oben rechts KachelX + 1 67923 KachelY 68462 0.11442538 -0.13980570 6.556091 -8.010277
    Unten links KachelX 67922 KachelY + 1 68463 0.11437744 -0.13985317 6.553345 -8.012996
    Unten rechts KachelX + 1 67923 KachelY + 1 68463 0.11442538 -0.13985317 6.556091 -8.012996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13980570--0.13985317) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13980570--0.13985317) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11437744-0.11442538) × cos(-0.13980570) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990243090748082 × 6371000     		do = 302.445728771597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11437744-0.11442538) × cos(-0.13985317) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990236474654029 × 6371000     		du = 302.443708046175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13980570)-sin(-0.13985317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990243090748082-0.990236474654029)×R²
    abs(0.11442538-0.11437744)×6.61609405305796e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.61609405305796e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.61609405305796e-06×40589641000000     		ar = 91468.7705548147m²