Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67920 / 69391
↖ ↑ ↗
← S 10.528320°
E  6.547852°		 ← 300.28 m → S 10.528320°
E  6.550598°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.531020°
E  6.547852°		 ← 300.28 m →
90 164 m²		 S 10.531020°
E  6.550598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518192291259766 y=0.529415130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518192291259766 × 217)
    floor (0.518192291259766 × 131072)
    floor (67920.5)     		tx = 67920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529415130615234 × 217)
    floor (0.529415130615234 × 131072)
    floor (69391.5)     		ty = 69391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67920 / 69391 ti = "17/67920/69391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67920/69391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67920 ÷ 217
    67920 ÷ 131072     		x = 0.5181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69391 ÷ 217
    69391 ÷ 131072     		y = 0.529411315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5181884765625 × 2 - 1) × π
    0.036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11428157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529411315917969 × 2 - 1) × π
    -0.0588226318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.184796748035316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11428157} λ = 0.11428157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184796748035316))-π/2
    2×atan(0.831273224598863)-π/2
    2×0.693521241860369-π/2
    1.38704248372074-1.57079632675     		φ = -0.18375384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11428157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18375384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.528320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67920 KachelY 69391 0.11428157 -0.18375384 6.547852 -10.528320
    Oben rechts KachelX + 1 67921 KachelY 69391 0.11432951 -0.18375384 6.550598 -10.528320
    Unten links KachelX 67920 KachelY + 1 69392 0.11428157 -0.18380097 6.547852 -10.531020
    Unten rechts KachelX + 1 67921 KachelY + 1 69392 0.11432951 -0.18380097 6.550598 -10.531020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18375384--0.18380097) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dl = 300.26523000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18375384--0.18380097) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dr = 300.26523000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11428157-0.11432951) × cos(-0.18375384) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983164714175124 × 6371000     		do = 300.283810368803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11428157-0.11432951) × cos(-0.18380097) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983156101419139 × 6371000     		du = 300.281179811432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18375384)-sin(-0.18380097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983164714175124-0.983156101419139)×R²
    abs(0.11432951-0.11428157)×8.61275598551536e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.61275598551536e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.61275598551536e-06×40589641000000     		ar = 90164.3924699254m²