Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6792 / 8074
↖ ↑ ↗
← N 79.292438°
W142.690430°		 ← 113.48 m → N 79.292438°
W142.684937°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
N 79.291418°
W142.690430°		 ← 113.49 m →
12 877 m²		 N 79.291418°
W142.684937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103645324707031 y=0.123207092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103645324707031 × 216)
    floor (0.103645324707031 × 65536)
    floor (6792.5)     		tx = 6792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123207092285156 × 216)
    floor (0.123207092285156 × 65536)
    floor (8074.5)     		ty = 8074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6792 / 8074 ti = "16/6792/8074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6792/8074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6792 ÷ 216
    6792 ÷ 65536     		x = 0.1036376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8074 ÷ 216
    8074 ÷ 65536     		y = 0.123199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1036376953125 × 2 - 1) × π
    -0.792724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.49041781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123199462890625 × 2 - 1) × π
    0.75360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36750759843533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49041781} λ = -2.49041781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36750759843533))-π/2
    2×atan(10.670763285708)-π/2
    2×1.47735522379702-π/2
    2.95471044759403-1.57079632675     		φ = 1.38391412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49041781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38391412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.292438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6792 KachelY 8074 -2.49041781 1.38391412 -142.690430 79.292438
    Oben rechts KachelX + 1 6793 KachelY 8074 -2.49032194 1.38391412 -142.684937 79.292438
    Unten links KachelX 6792 KachelY + 1 8075 -2.49041781 1.38389631 -142.690430 79.291418
    Unten rechts KachelX + 1 6793 KachelY + 1 8075 -2.49032194 1.38389631 -142.684937 79.291418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38391412-1.38389631) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38391412-1.38389631) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49041781--2.49032194) × cos(1.38391412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185796295891723 × 6371000     		do = 113.482105241963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49041781--2.49032194) × cos(1.38389631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185813795759599 × 6371000     		du = 113.492793947238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38391412)-sin(1.38389631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185796295891723-0.185813795759599)×R²
    abs(-2.49032194--2.49041781)×1.74998678755256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74998678755256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74998678755256e-05×40589641000000     		ar = 12877.1383222556m²