Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6792 / 1656
↖ ↑ ↗
← N 80.675559°
W 30.761719°		 ← 395.87 m → N 80.675559°
W 30.739746°		 →
↑
395.96 m
↓
↑
395.96 m
↓
N 80.671998°
W 30.761719°		 ← 396.02 m →
156 778 m²		 N 80.671998°
W 30.739746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414581298828125 y=0.101104736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414581298828125 × 214)
    floor (0.414581298828125 × 16384)
    floor (6792.5)     		tx = 6792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101104736328125 × 214)
    floor (0.101104736328125 × 16384)
    floor (1656.5)     		ty = 1656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6792 / 1656 ti = "14/6792/1656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6792/1656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6792 ÷ 214
    6792 ÷ 16384     		x = 0.41455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1656 ÷ 214
    1656 ÷ 16384     		y = 0.10107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53689328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10107421875 × 2 - 1) × π
    0.7978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5065246073335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53689328} λ = -0.53689328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5065246073335))-π/2
    2×atan(12.2622398224554)-π/2
    2×1.48942522703701-π/2
    2.97885045407401-1.57079632675     		φ = 1.40805413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53689328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.761719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40805413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.675559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6792 KachelY 1656 -0.53689328 1.40805413 -30.761719 80.675559
    Oben rechts KachelX + 1 6793 KachelY 1656 -0.53650978 1.40805413 -30.739746 80.675559
    Unten links KachelX 6792 KachelY + 1 1657 -0.53689328 1.40799198 -30.761719 80.671998
    Unten rechts KachelX + 1 6793 KachelY + 1 1657 -0.53650978 1.40799198 -30.739746 80.671998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40805413-1.40799198) × R
    6.21499999999831e-05 × 6371000     		dl = 395.957649999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40805413-1.40799198) × R
    6.21499999999831e-05 × 6371000     		dr = 395.957649999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53689328--0.53650978) × cos(1.40805413) × R
    0.000383499999999981 × 0.162024775706063 × 6371000     		do = 395.871650949926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53689328--0.53650978) × cos(1.40799198) × R
    0.000383499999999981 × 0.162086104185902 × 6371000     		du = 396.021493506156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40805413)-sin(1.40799198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162024775706063-0.162086104185902)×R²
    abs(-0.53650978--0.53689328)×6.13284798393621e-05×R²
    0.000383499999999981×6.13284798393621e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.13284798393621e-05×40589641000000     		ar = 156778.074315099m²