Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67916 / 69082
↖ ↑ ↗
← S  9.692813°
E  6.536865°		 ← 301.07 m → S  9.692813°
E  6.539612°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.695521°
E  6.536865°		 ← 301.06 m →
90 649 m²		 S  9.695521°
E  6.539612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518161773681641 y=0.527057647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518161773681641 × 217)
    floor (0.518161773681641 × 131072)
    floor (67916.5)     		tx = 67916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527057647705078 × 217)
    floor (0.527057647705078 × 131072)
    floor (69082.5)     		ty = 69082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67916 / 69082 ti = "17/67916/69082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67916/69082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67916 ÷ 217
    67916 ÷ 131072     		x = 0.518157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69082 ÷ 217
    69082 ÷ 131072     		y = 0.527053833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518157958984375 × 2 - 1) × π
    0.03631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11408982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.054107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.169984246052719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11408982} λ = 0.11408982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169984246052719))-π/2
    2×atan(0.843678107752121)-π/2
    2×0.7008124111529-π/2
    1.4016248223058-1.57079632675     		φ = -0.16917150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11408982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.536865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16917150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.692813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67916 KachelY 69082 0.11408982 -0.16917150 6.536865 -9.692813
    Oben rechts KachelX + 1 67917 KachelY 69082 0.11413776 -0.16917150 6.539612 -9.692813
    Unten links KachelX 67916 KachelY + 1 69083 0.11408982 -0.16921876 6.536865 -9.695521
    Unten rechts KachelX + 1 67917 KachelY + 1 69083 0.11413776 -0.16921876 6.539612 -9.695521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16917150--0.16921876) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16917150--0.16921876) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11408982-0.11413776) × cos(-0.16917150) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985724596211018 × 6371000     		do = 301.065664234015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11408982-0.11413776) × cos(-0.16921876) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985716638145615 × 6371000     		du = 301.063233636001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16917150)-sin(-0.16921876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985724596211018-0.985716638145615)×R²
    abs(0.11413776-0.11408982)×7.95806540310195e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.95806540310195e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.95806540310195e-06×40589641000000     		ar = 90648.5366296929m²