Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67915 / 69098
↖ ↑ ↗
← S  9.736129°
E  6.534118°		 ← 301.03 m → S  9.736129°
E  6.536865°		 →
↑
300.97 m
↓
↑
300.97 m
↓
S  9.738835°
E  6.534118°		 ← 301.02 m →
90 598 m²		 S  9.738835°
E  6.536865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518154144287109 y=0.527179718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518154144287109 × 217)
    floor (0.518154144287109 × 131072)
    floor (67915.5)     		tx = 67915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527179718017578 × 217)
    floor (0.527179718017578 × 131072)
    floor (69098.5)     		ty = 69098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67915 / 69098 ti = "17/67915/69098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67915/69098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67915 ÷ 217
    67915 ÷ 131072     		x = 0.518150329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69098 ÷ 217
    69098 ÷ 131072     		y = 0.527175903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518150329589844 × 2 - 1) × π
    0.0363006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11404188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527175903320312 × 2 - 1) × π
    -0.054351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17075123644664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11404188} λ = 0.11404188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17075123644664))-π/2
    2×atan(0.84303126284154)-π/2
    2×0.700434414947803-π/2
    1.40086882989561-1.57079632675     		φ = -0.16992750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11404188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.534118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16992750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.736129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67915 KachelY 69098 0.11404188 -0.16992750 6.534118 -9.736129
    Oben rechts KachelX + 1 67916 KachelY 69098 0.11408982 -0.16992750 6.536865 -9.736129
    Unten links KachelX 67915 KachelY + 1 69099 0.11404188 -0.16997474 6.534118 -9.738835
    Unten rechts KachelX + 1 67916 KachelY + 1 69099 0.11408982 -0.16997474 6.536865 -9.738835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16992750--0.16997474) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dl = 300.966040000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16992750--0.16997474) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dr = 300.966040000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11404188-0.11408982) × cos(-0.16992750) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985597030039617 × 6371000     		do = 301.026702241629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11404188-0.11408982) × cos(-0.16997474) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985589040141263 × 6371000     		du = 301.024261921012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16992750)-sin(-0.16997474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985597030039617-0.985589040141263)×R²
    abs(0.11408982-0.11404188)×7.98989835459896e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.98989835459896e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.98989835459896e-06×40589641000000     		ar = 90598.4472979962m²