Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67915 / 47296
↖ ↑ ↗
← N 44.715514°
E  6.534118°		 ← 217.04 m → N 44.715514°
E  6.536865°		 →
↑
217 m
↓
↑
217 m
↓
N 44.713562°
E  6.534118°		 ← 217.05 m →
47 097 m²		 N 44.713562°
E  6.536865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518154144287109 y=0.360843658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518154144287109 × 217)
    floor (0.518154144287109 × 131072)
    floor (67915.5)     		tx = 67915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360843658447266 × 217)
    floor (0.360843658447266 × 131072)
    floor (47296.5)     		ty = 47296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67915 / 47296 ti = "17/67915/47296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67915/47296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67915 ÷ 217
    67915 ÷ 131072     		x = 0.518150329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47296 ÷ 217
    47296 ÷ 131072     		y = 0.36083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518150329589844 × 2 - 1) × π
    0.0363006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11404188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36083984375 × 2 - 1) × π
    0.2783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.874369049069824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11404188} λ = 0.11404188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874369049069824))-π/2
    2×atan(2.3973621987636)-π/2
    2×1.17561463406082-π/2
    2.35122926812165-1.57079632675     		φ = 0.78043294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11404188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.534118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78043294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.715514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67915 KachelY 47296 0.11404188 0.78043294 6.534118 44.715514
    Oben rechts KachelX + 1 67916 KachelY 47296 0.11408982 0.78043294 6.536865 44.715514
    Unten links KachelX 67915 KachelY + 1 47297 0.11404188 0.78039888 6.534118 44.713562
    Unten rechts KachelX + 1 67916 KachelY + 1 47297 0.11408982 0.78039888 6.536865 44.713562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78043294-0.78039888) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dl = 216.996259999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78043294-0.78039888) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dr = 216.996259999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11404188-0.11408982) × cos(0.78043294) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.710608993604276 × 6371000     		do = 217.038277722225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11404188-0.11408982) × cos(0.78039888) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.710632957369947 × 6371000     		du = 217.045596873088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78043294)-sin(0.78039888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710608993604276-0.710632957369947)×R²
    abs(0.11408982-0.11404188)×2.39637656709313e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39637656709313e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39637656709313e-05×40589641000000     		ar = 47097.2886613222m²