Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67914 / 69240
↖ ↑ ↗
← S 10.120301°
E  6.531372°		 ← 300.61 m → S 10.120301°
E  6.534118°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.123006°
E  6.531372°		 ← 300.61 m →
90 397 m²		 S 10.123006°
E  6.534118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518146514892578 y=0.528263092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518146514892578 × 217)
    floor (0.518146514892578 × 131072)
    floor (67914.5)     		tx = 67914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528263092041016 × 217)
    floor (0.528263092041016 × 131072)
    floor (69240.5)     		ty = 69240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67914 / 69240 ti = "17/67914/69240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67914/69240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67914 ÷ 217
    67914 ÷ 131072     		x = 0.518142700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69240 ÷ 217
    69240 ÷ 131072     		y = 0.52825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518142700195312 × 2 - 1) × π
    0.036285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11399395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0565185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.177558276192688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11399395} λ = 0.11399395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177558276192688))-π/2
    2×atan(0.837312202546666)-π/2
    2×0.697081871011751-π/2
    1.3941637420235-1.57079632675     		φ = -0.17663258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11399395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.531372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17663258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.120301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67914 KachelY 69240 0.11399395 -0.17663258 6.531372 -10.120301
    Oben rechts KachelX + 1 67915 KachelY 69240 0.11404188 -0.17663258 6.534118 -10.120301
    Unten links KachelX 67914 KachelY + 1 69241 0.11399395 -0.17667978 6.531372 -10.123006
    Unten rechts KachelX + 1 67915 KachelY + 1 69241 0.11404188 -0.17667978 6.534118 -10.123006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17663258--0.17667978) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17663258--0.17667978) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11399395-0.11404188) × cos(-0.17663258) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984440981263803 × 6371000     		do = 300.610896453917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11399395-0.11404188) × cos(-0.17667978) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984432686393271 × 6371000     		du = 300.608363515413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17663258)-sin(-0.17667978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984440981263803-0.984432686393271)×R²
    abs(0.11404188-0.11399395)×8.29487053155553e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.29487053155553e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.29487053155553e-06×40589641000000     		ar = 90396.6825810487m²