Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67914 / 69079
↖ ↑ ↗
← S  9.684691°
E  6.531372°		 ← 301.01 m → S  9.684691°
E  6.534118°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.687399°
E  6.531372°		 ← 301.01 m →
90 632 m²		 S  9.687399°
E  6.534118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518146514892578 y=0.527034759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518146514892578 × 217)
    floor (0.518146514892578 × 131072)
    floor (67914.5)     		tx = 67914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527034759521484 × 217)
    floor (0.527034759521484 × 131072)
    floor (69079.5)     		ty = 69079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67914 / 69079 ti = "17/67914/69079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67914/69079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67914 ÷ 217
    67914 ÷ 131072     		x = 0.518142700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69079 ÷ 217
    69079 ÷ 131072     		y = 0.527030944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518142700195312 × 2 - 1) × π
    0.036285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11399395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527030944824219 × 2 - 1) × π
    -0.0540618896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.169840435353859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11399395} λ = 0.11399395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169840435353859))-π/2
    2×atan(0.8437994464151)-π/2
    2×0.700883290882235-π/2
    1.40176658176447-1.57079632675     		φ = -0.16902974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11399395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.531372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16902974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.684691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67914 KachelY 69079 0.11399395 -0.16902974 6.531372 -9.684691
    Oben rechts KachelX + 1 67915 KachelY 69079 0.11404188 -0.16902974 6.534118 -9.684691
    Unten links KachelX 67914 KachelY + 1 69080 0.11399395 -0.16907700 6.531372 -9.687399
    Unten rechts KachelX + 1 67915 KachelY + 1 69080 0.11404188 -0.16907700 6.534118 -9.687399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16902974--0.16907700) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16902974--0.16907700) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11399395-0.11404188) × cos(-0.16902974) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985748453832896 × 6371000     		do = 301.010148931784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11399395-0.11404188) × cos(-0.16907700) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985740502371485 × 6371000     		du = 301.007720857386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16902974)-sin(-0.16907700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985748453832896-0.985740502371485)×R²
    abs(0.11404188-0.11399395)×7.95146141141512e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.95146141141512e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.95146141141512e-06×40589641000000     		ar = 90631.8217151854m²