Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67913 / 47368
↖ ↑ ↗
← N 44.574818°
E  6.528625°		 ← 217.57 m → N 44.574818°
E  6.531372°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
N 44.572861°
E  6.528625°		 ← 217.57 m →
47 336 m²		 N 44.572861°
E  6.531372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518138885498047 y=0.361392974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518138885498047 × 217)
    floor (0.518138885498047 × 131072)
    floor (67913.5)     		tx = 67913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361392974853516 × 217)
    floor (0.361392974853516 × 131072)
    floor (47368.5)     		ty = 47368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67913 / 47368 ti = "17/67913/47368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67913/47368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67913 ÷ 217
    67913 ÷ 131072     		x = 0.518135070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47368 ÷ 217
    47368 ÷ 131072     		y = 0.36138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518135070800781 × 2 - 1) × π
    0.0362701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11394601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36138916015625 × 2 - 1) × π
    0.2772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.87091759229718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11394601} λ = 0.11394601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87091759229718))-π/2
    2×atan(2.38910206970533)-π/2
    2×1.17438682698197-π/2
    2.34877365396394-1.57079632675     		φ = 0.77797733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11394601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.528625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77797733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.574818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67913 KachelY 47368 0.11394601 0.77797733 6.528625 44.574818
    Oben rechts KachelX + 1 67914 KachelY 47368 0.11399395 0.77797733 6.531372 44.574818
    Unten links KachelX 67913 KachelY + 1 47369 0.11394601 0.77794318 6.528625 44.572861
    Unten rechts KachelX + 1 67914 KachelY + 1 47369 0.11399395 0.77794318 6.531372 44.572861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77797733-0.77794318) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dl = 217.569650000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77797733-0.77794318) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dr = 217.569650000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11394601-0.11399395) × cos(0.77797733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.712334584983077 × 6371000     		do = 217.565317746032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11394601-0.11399395) × cos(0.77794318) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.712358552405002 × 6371000     		du = 217.57263801361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77797733)-sin(0.77794318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712334584983077-0.712358552405002)×R²
    abs(0.11399395-0.11394601)×2.39674219252306e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39674219252306e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39674219252306e-05×40589641000000     		ar = 47336.4063727548m²