Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67911 / 72379
↖ ↑ ↗
← S 18.466584°
E  6.523133°		 ← 289.64 m → S 18.466584°
E  6.525879°		 →
↑
289.69 m
↓
↑
289.69 m
↓
S 18.469189°
E  6.523133°		 ← 289.63 m →
83 905 m²		 S 18.469189°
E  6.525879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518123626708984 y=0.552211761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518123626708984 × 217)
    floor (0.518123626708984 × 131072)
    floor (67911.5)     		tx = 67911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552211761474609 × 217)
    floor (0.552211761474609 × 131072)
    floor (72379.5)     		ty = 72379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67911 / 72379 ti = "17/67911/72379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67911/72379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67911 ÷ 217
    67911 ÷ 131072     		x = 0.518119812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72379 ÷ 217
    72379 ÷ 131072     		y = 0.552207946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518119812011719 × 2 - 1) × π
    0.0362396240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11385014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552207946777344 × 2 - 1) × π
    -0.104415893554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.328032204100044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11385014} λ = 0.11385014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328032204100044))-π/2
    2×atan(0.720339821436088)-π/2
    2×0.624246819231503-π/2
    1.24849363846301-1.57079632675     		φ = -0.32230269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11385014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.523133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32230269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.466584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67911 KachelY 72379 0.11385014 -0.32230269 6.523133 -18.466584
    Oben rechts KachelX + 1 67912 KachelY 72379 0.11389807 -0.32230269 6.525879 -18.466584
    Unten links KachelX 67911 KachelY + 1 72380 0.11385014 -0.32234816 6.523133 -18.469189
    Unten rechts KachelX + 1 67912 KachelY + 1 72380 0.11389807 -0.32234816 6.525879 -18.469189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32230269--0.32234816) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dl = 289.689369999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32230269--0.32234816) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dr = 289.689369999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11385014-0.11389807) × cos(-0.32230269) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948508552846182 × 6371000     		do = 289.638497169482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11385014-0.11389807) × cos(-0.32234816) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.94849414917406 × 6371000     		du = 289.634098834923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32230269)-sin(-0.32234816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948508552846182-0.94849414917406)×R²
    abs(0.11389807-0.11385014)×1.4403672122576e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.4403672122576e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.4403672122576e-05×40589641000000     		ar = 83904.5567118887m²