Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67910 / 47366
↖ ↑ ↗
← N 44.578730°
E  6.520386°		 ← 217.55 m → N 44.578730°
E  6.523133°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
N 44.576774°
E  6.520386°		 ← 217.56 m →
47 333 m²		 N 44.576774°
E  6.523133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518115997314453 y=0.361377716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518115997314453 × 217)
    floor (0.518115997314453 × 131072)
    floor (67910.5)     		tx = 67910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361377716064453 × 217)
    floor (0.361377716064453 × 131072)
    floor (47366.5)     		ty = 47366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67910 / 47366 ti = "17/67910/47366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67910/47366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67910 ÷ 217
    67910 ÷ 131072     		x = 0.518112182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47366 ÷ 217
    47366 ÷ 131072     		y = 0.361373901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518112182617188 × 2 - 1) × π
    0.036224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11380220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361373901367188 × 2 - 1) × π
    0.277252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.87101346609642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11380220} λ = 0.11380220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87101346609642))-π/2
    2×atan(2.38933113297793)-π/2
    2×1.17442097294471-π/2
    2.34884194588942-1.57079632675     		φ = 0.77804562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11380220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.520386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77804562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.578730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67910 KachelY 47366 0.11380220 0.77804562 6.520386 44.578730
    Oben rechts KachelX + 1 67911 KachelY 47366 0.11385014 0.77804562 6.523133 44.578730
    Unten links KachelX 67910 KachelY + 1 47367 0.11380220 0.77801147 6.520386 44.576774
    Unten rechts KachelX + 1 67911 KachelY + 1 47367 0.11385014 0.77801147 6.523133 44.576774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77804562-0.77801147) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dl = 217.569649999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77804562-0.77801147) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dr = 217.569649999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11380220-0.11385014) × cos(0.77804562) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.712286654665919 × 6371000     		do = 217.550678593446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11380220-0.11385014) × cos(0.77801147) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.712310623749055 × 6371000     		du = 217.5579993684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77804562)-sin(0.77801147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712286654665919-0.712310623749055)×R²
    abs(0.11385014-0.11380220)×2.3969083135178e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3969083135178e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3969083135178e-05×40589641000000     		ar = 47333.221392726m²