Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6791 / 11141
↖ ↑ ↗
← S 54.226708°
W 30.783691°		 ← 1 428.25 m → S 54.226708°
W 30.761719°		 →
↑
1 428.06 m
↓
↑
1 428.06 m
↓
S 54.239550°
W 30.783691°		 ← 1 427.81 m →
2 039 314 m²		 S 54.239550°
W 30.761719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414520263671875 y=0.680023193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414520263671875 × 214)
    floor (0.414520263671875 × 16384)
    floor (6791.5)     		tx = 6791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680023193359375 × 214)
    floor (0.680023193359375 × 16384)
    floor (11141.5)     		ty = 11141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6791 / 11141 ti = "14/6791/11141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6791/11141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6791 ÷ 214
    6791 ÷ 16384     		x = 0.41448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11141 ÷ 214
    11141 ÷ 16384     		y = 0.67999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.1710205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53727677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.3599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13092733583636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53727677} λ = -0.53727677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13092733583636))-π/2
    2×atan(0.322733834960818)-π/2
    2×0.312180866904236-π/2
    0.624361733808472-1.57079632675     		φ = -0.94643459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53727677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.783691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94643459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.226708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6791 KachelY 11141 -0.53727677 -0.94643459 -30.783691 -54.226708
    Oben rechts KachelX + 1 6792 KachelY 11141 -0.53689328 -0.94643459 -30.761719 -54.226708
    Unten links KachelX 6791 KachelY + 1 11142 -0.53727677 -0.94665874 -30.783691 -54.239550
    Unten rechts KachelX + 1 6792 KachelY + 1 11142 -0.53689328 -0.94665874 -30.761719 -54.239550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94643459--0.94665874) × R
    0.00022415000000009 × 6371000     		dl = 1428.05965000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94643459--0.94665874) × R
    0.00022415000000009 × 6371000     		dr = 1428.05965000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53727677--0.53689328) × cos(-0.94643459) × R
    0.000383489999999931 × 0.584579545877294 × 6371000     		do = 1428.25339241863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53727677--0.53689328) × cos(-0.94665874) × R
    0.000383489999999931 × 0.584397670139097 × 6371000     		du = 1427.80903092513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94643459)-sin(-0.94665874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584579545877294-0.584397670139097)×R²
    abs(-0.53689328--0.53727677)×0.000181875738196946×R²
    0.000383489999999931×0.000181875738196946×6371000²
    0.000383489999999931×0.000181875738196946×40589641000000     		ar = 2039313.76086915m²