Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67909 / 47365
↖ ↑ ↗
← N 44.580686°
E  6.517639°		 ← 217.54 m → N 44.580686°
E  6.520386°		 →
↑
217.51 m
↓
↑
217.51 m
↓
N 44.578730°
E  6.517639°		 ← 217.55 m →
47 318 m²		 N 44.578730°
E  6.520386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518108367919922 y=0.361370086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518108367919922 × 217)
    floor (0.518108367919922 × 131072)
    floor (67909.5)     		tx = 67909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361370086669922 × 217)
    floor (0.361370086669922 × 131072)
    floor (47365.5)     		ty = 47365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67909 / 47365 ti = "17/67909/47365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67909/47365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67909 ÷ 217
    67909 ÷ 131072     		x = 0.518104553222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47365 ÷ 217
    47365 ÷ 131072     		y = 0.361366271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518104553222656 × 2 - 1) × π
    0.0362091064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11375426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361366271972656 × 2 - 1) × π
    0.277267456054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.87106140299604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11375426} λ = 0.11375426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87106140299604))-π/2
    2×atan(2.38944567284993)-π/2
    2×1.17443804506445-π/2
    2.34887609012889-1.57079632675     		φ = 0.77807976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11375426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.517639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77807976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.580686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67909 KachelY 47365 0.11375426 0.77807976 6.517639 44.580686
    Oben rechts KachelX + 1 67910 KachelY 47365 0.11380220 0.77807976 6.520386 44.580686
    Unten links KachelX 67909 KachelY + 1 47366 0.11375426 0.77804562 6.517639 44.578730
    Unten rechts KachelX + 1 67910 KachelY + 1 47366 0.11380220 0.77804562 6.520386 44.578730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77807976-0.77804562) × R
    3.41400000000158e-05 × 6371000     		dl = 217.505940000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77807976-0.77804562) × R
    3.41400000000158e-05 × 6371000     		dr = 217.505940000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11375426-0.11380220) × cos(0.77807976) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.71226269177123 × 6371000     		do = 217.543359708666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11375426-0.11380220) × cos(0.77804562) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.712286654665919 × 6371000     		du = 217.550678593509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77807976)-sin(0.77804562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71226269177123-0.712286654665919)×R²
    abs(0.11380220-0.11375426)×2.39628946898662e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39628946898662e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39628946898662e-05×40589641000000     		ar = 47317.7688990824m²