Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67908 / 68400
↖ ↑ ↗
← S  7.841615°
E  6.514893°		 ← 302.51 m → S  7.841615°
E  6.517639°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.844336°
E  6.514893°		 ← 302.50 m →
91 526 m²		 S  7.844336°
E  6.517639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518100738525391 y=0.521854400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518100738525391 × 217)
    floor (0.518100738525391 × 131072)
    floor (67908.5)     		tx = 67908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521854400634766 × 217)
    floor (0.521854400634766 × 131072)
    floor (68400.5)     		ty = 68400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67908 / 68400 ti = "17/67908/68400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67908/68400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67908 ÷ 217
    67908 ÷ 131072     		x = 0.518096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68400 ÷ 217
    68400 ÷ 131072     		y = 0.5218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518096923828125 × 2 - 1) × π
    0.03619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11370633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137291280511841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11370633} λ = 0.11370633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137291280511841))-π/2
    2×atan(0.871716275185608)-π/2
    2×0.716967161571289-π/2
    1.43393432314258-1.57079632675     		φ = -0.13686200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11370633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.514893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13686200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.841615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67908 KachelY 68400 0.11370633 -0.13686200 6.514893 -7.841615
    Oben rechts KachelX + 1 67909 KachelY 68400 0.11375426 -0.13686200 6.517639 -7.841615
    Unten links KachelX 67908 KachelY + 1 68401 0.11370633 -0.13690949 6.514893 -7.844336
    Unten rechts KachelX + 1 67909 KachelY + 1 68401 0.11375426 -0.13690949 6.517639 -7.844336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13686200--0.13690949) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dl = 302.558789999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13686200--0.13690949) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dr = 302.558789999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11370633-0.11375426) × cos(-0.13686200) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990649006441502 × 6371000     		do = 302.50659162447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11370633-0.11375426) × cos(-0.13690949) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990642526019842 × 6371000     		du = 302.504612749757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13686200)-sin(-0.13690949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990649006441502-0.990642526019842)×R²
    abs(0.11375426-0.11370633)×6.48042165962703e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.48042165962703e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.48042165962703e-06×40589641000000     		ar = 91525.7289830877m²