Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67908 / 47364
↖ ↑ ↗
← N 44.582643°
E  6.514893°		 ← 217.49 m → N 44.582643°
E  6.517639°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
N 44.580686°
E  6.514893°		 ← 217.50 m →
47 320 m²		 N 44.580686°
E  6.517639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518100738525391 y=0.361362457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518100738525391 × 217)
    floor (0.518100738525391 × 131072)
    floor (67908.5)     		tx = 67908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361362457275391 × 217)
    floor (0.361362457275391 × 131072)
    floor (47364.5)     		ty = 47364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67908 / 47364 ti = "17/67908/47364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67908/47364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67908 ÷ 217
    67908 ÷ 131072     		x = 0.518096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47364 ÷ 217
    47364 ÷ 131072     		y = 0.361358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518096923828125 × 2 - 1) × π
    0.03619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11370633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361358642578125 × 2 - 1) × π
    0.27728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.87110933989566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11370633} λ = 0.11370633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87110933989566))-π/2
    2×atan(2.38956021821275)-π/2
    2×1.17445511660976-π/2
    2.34891023321952-1.57079632675     		φ = 0.77811391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11370633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.514893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77811391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.582643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67908 KachelY 47364 0.11370633 0.77811391 6.514893 44.582643
    Oben rechts KachelX + 1 67909 KachelY 47364 0.11375426 0.77811391 6.517639 44.582643
    Unten links KachelX 67908 KachelY + 1 47365 0.11370633 0.77807976 6.514893 44.580686
    Unten rechts KachelX + 1 67909 KachelY + 1 47365 0.11375426 0.77807976 6.517639 44.580686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77811391-0.77807976) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dl = 217.569649999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77811391-0.77807976) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dr = 217.569649999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11370633-0.11375426) × cos(0.77811391) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.712238721026996 × 6371000     		do = 217.490661697414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11370633-0.11375426) × cos(0.77807976) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.71226269177123 × 6371000     		du = 217.497981452534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77811391)-sin(0.77807976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712238721026996-0.71226269177123)×R²
    abs(0.11375426-0.11370633)×2.39707442333259e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39707442333259e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39707442333259e-05×40589641000000     		ar = 47320.1634267519m²