Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67907 / 68419
↖ ↑ ↗
← S  7.893309°
E  6.512146°		 ← 302.53 m → S  7.893309°
E  6.514893°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.896029°
E  6.512146°		 ← 302.53 m →
91 514 m²		 S  7.896029°
E  6.514893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518093109130859 y=0.521999359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518093109130859 × 217)
    floor (0.518093109130859 × 131072)
    floor (67907.5)     		tx = 67907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521999359130859 × 217)
    floor (0.521999359130859 × 131072)
    floor (68419.5)     		ty = 68419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67907 / 68419 ti = "17/67907/68419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67907/68419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67907 ÷ 217
    67907 ÷ 131072     		x = 0.518089294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68419 ÷ 217
    68419 ÷ 131072     		y = 0.521995544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518089294433594 × 2 - 1) × π
    0.0361785888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11365839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521995544433594 × 2 - 1) × π
    -0.0439910888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.138202081604622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11365839} λ = 0.11365839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138202081604622))-π/2
    2×atan(0.870922676509706)-π/2
    2×0.716516047563392-π/2
    1.43303209512678-1.57079632675     		φ = -0.13776423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11365839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.512146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13776423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.893309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67907 KachelY 68419 0.11365839 -0.13776423 6.512146 -7.893309
    Oben rechts KachelX + 1 67908 KachelY 68419 0.11370633 -0.13776423 6.514893 -7.893309
    Unten links KachelX 67907 KachelY + 1 68420 0.11365839 -0.13781171 6.512146 -7.896029
    Unten rechts KachelX + 1 67908 KachelY + 1 68420 0.11370633 -0.13781171 6.514893 -7.896029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13776423--0.13781171) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13776423--0.13781171) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11365839-0.11370633) × cos(-0.13776423) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990525507382921 × 6371000     		do = 302.531986081281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11365839-0.11370633) × cos(-0.13781171) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990518985891562 × 6371000     		du = 302.529994249956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13776423)-sin(-0.13781171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990525507382921-0.990518985891562)×R²
    abs(0.11370633-0.11365839)×6.52149135993429e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.52149135993429e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.52149135993429e-06×40589641000000     		ar = 91514.1360898257m²