Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67906 / 68420
↖ ↑ ↗
← S  7.896029°
E  6.509399°		 ← 302.53 m → S  7.896029°
E  6.512146°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.898750°
E  6.509399°		 ← 302.53 m →
91 533 m²		 S  7.898750°
E  6.512146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518085479736328 y=0.522006988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518085479736328 × 217)
    floor (0.518085479736328 × 131072)
    floor (67906.5)     		tx = 67906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522006988525391 × 217)
    floor (0.522006988525391 × 131072)
    floor (68420.5)     		ty = 68420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67906 / 68420 ti = "17/67906/68420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67906/68420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67906 ÷ 217
    67906 ÷ 131072     		x = 0.518081665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68420 ÷ 217
    68420 ÷ 131072     		y = 0.522003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518081665039062 × 2 - 1) × π
    0.036163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11361045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.04400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.138250018504242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11361045} λ = 0.11361045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138250018504242))-π/2
    2×atan(0.870880928177436)-π/2
    2×0.716492306280643-π/2
    1.43298461256129-1.57079632675     		φ = -0.13781171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11361045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.509399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13781171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.896029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67906 KachelY 68420 0.11361045 -0.13781171 6.509399 -7.896029
    Oben rechts KachelX + 1 67907 KachelY 68420 0.11365839 -0.13781171 6.512146 -7.896029
    Unten links KachelX 67906 KachelY + 1 68421 0.11361045 -0.13785920 6.509399 -7.898750
    Unten rechts KachelX + 1 67907 KachelY + 1 68421 0.11365839 -0.13785920 6.512146 -7.898750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13781171--0.13785920) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dl = 302.558789999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13781171--0.13785920) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dr = 302.558789999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11361045-0.11365839) × cos(-0.13781171) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990518985891562 × 6371000     		do = 302.529994249956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11361045-0.11365839) × cos(-0.13785920) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990512460792995 × 6371000     		du = 302.528001316898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13781171)-sin(-0.13785920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990518985891562-0.990512460792995)×R²
    abs(0.11365839-0.11361045)×6.52509856624572e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.52509856624572e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.52509856624572e-06×40589641000000     		ar = 91532.8075264316m²