Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67906 / 47467
↖ ↑ ↗
← N 44.380803°
E  6.509399°		 ← 218.29 m → N 44.380803°
E  6.512146°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
N 44.378840°
E  6.509399°		 ← 218.30 m →
47 647 m²		 N 44.378840°
E  6.512146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518085479736328 y=0.362148284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518085479736328 × 217)
    floor (0.518085479736328 × 131072)
    floor (67906.5)     		tx = 67906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362148284912109 × 217)
    floor (0.362148284912109 × 131072)
    floor (47467.5)     		ty = 47467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67906 / 47467 ti = "17/67906/47467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67906/47467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67906 ÷ 217
    67906 ÷ 131072     		x = 0.518081665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47467 ÷ 217
    47467 ÷ 131072     		y = 0.362144470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518081665039062 × 2 - 1) × π
    0.036163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11361045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362144470214844 × 2 - 1) × π
    0.275711059570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.866171839234795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11361045} λ = 0.11361045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.866171839234795))-π/2
    2×atan(2.37779084261641)-π/2
    2×1.17269373010172-π/2
    2.34538746020344-1.57079632675     		φ = 0.77459113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11361045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.509399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77459113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.380803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67906 KachelY 47467 0.11361045 0.77459113 6.509399 44.380803
    Oben rechts KachelX + 1 67907 KachelY 47467 0.11365839 0.77459113 6.512146 44.380803
    Unten links KachelX 67906 KachelY + 1 47468 0.11361045 0.77455687 6.509399 44.378840
    Unten rechts KachelX + 1 67907 KachelY + 1 47468 0.11365839 0.77455687 6.512146 44.378840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77459113-0.77455687) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77459113-0.77455687) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11361045-0.11365839) × cos(0.77459113) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714707067243135 × 6371000     		do = 218.289934895948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11361045-0.11365839) × cos(0.77455687) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714731029086897 × 6371000     		du = 218.29725345981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77459113)-sin(0.77455687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714707067243135-0.714731029086897)×R²
    abs(0.11365839-0.11361045)×2.3961843761855e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3961843761855e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3961843761855e-05×40589641000000     		ar = 47647.0432210909m²