Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67905 / 68422
↖ ↑ ↗
← S  7.901471°
E  6.506653°		 ← 302.46 m → S  7.901471°
E  6.509399°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.904191°
E  6.506653°		 ← 302.46 m →
91 493 m²		 S  7.904191°
E  6.509399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518077850341797 y=0.522022247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518077850341797 × 217)
    floor (0.518077850341797 × 131072)
    floor (67905.5)     		tx = 67905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522022247314453 × 217)
    floor (0.522022247314453 × 131072)
    floor (68422.5)     		ty = 68422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67905 / 68422 ti = "17/67905/68422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67905/68422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67905 ÷ 217
    67905 ÷ 131072     		x = 0.518074035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68422 ÷ 217
    68422 ÷ 131072     		y = 0.522018432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518074035644531 × 2 - 1) × π
    0.0361480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11356252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522018432617188 × 2 - 1) × π
    -0.044036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.138345892303482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11356252} λ = 0.11356252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138345892303482))-π/2
    2×atan(0.870797437516513)-π/2
    2×0.716444824184232-π/2
    1.43288964836846-1.57079632675     		φ = -0.13790668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11356252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.506653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13790668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.901471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67905 KachelY 68422 0.11356252 -0.13790668 6.506653 -7.901471
    Oben rechts KachelX + 1 67906 KachelY 68422 0.11361045 -0.13790668 6.509399 -7.901471
    Unten links KachelX 67905 KachelY + 1 68423 0.11356252 -0.13795416 6.506653 -7.904191
    Unten rechts KachelX + 1 67906 KachelY + 1 68423 0.11361045 -0.13795416 6.509399 -7.904191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13790668--0.13795416) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13790668--0.13795416) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11356252-0.11361045) × cos(-0.13790668) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990505934835226 × 6371000     		do = 302.462902988342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11356252-0.11361045) × cos(-0.13795416) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990499406644509 × 6371000     		du = 302.460909526773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13790668)-sin(-0.13795416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990505934835226-0.990499406644509)×R²
    abs(0.11361045-0.11356252)×6.52819071678135e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.52819071678135e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.52819071678135e-06×40589641000000     		ar = 91493.2385475072m²