Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67903 / 47477
↖ ↑ ↗
← N 44.361170°
E  6.501160°		 ← 218.36 m → N 44.361170°
E  6.503906°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
N 44.359206°
E  6.501160°		 ← 218.37 m →
47 691 m²		 N 44.359206°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518062591552734 y=0.362224578857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518062591552734 × 217)
    floor (0.518062591552734 × 131072)
    floor (67903.5)     		tx = 67903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362224578857422 × 217)
    floor (0.362224578857422 × 131072)
    floor (47477.5)     		ty = 47477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67903 / 47477 ti = "17/67903/47477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67903/47477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67903 ÷ 217
    67903 ÷ 131072     		x = 0.518058776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47477 ÷ 217
    47477 ÷ 131072     		y = 0.362220764160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518058776855469 × 2 - 1) × π
    0.0361175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11346664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362220764160156 × 2 - 1) × π
    0.275558471679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.865692470238594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11346664} λ = 0.11346664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865692470238594))-π/2
    2×atan(2.37665127656515)-π/2
    2×1.17252239718012-π/2
    2.34504479436023-1.57079632675     		φ = 0.77424847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11346664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.501160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77424847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.361170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67903 KachelY 47477 0.11346664 0.77424847 6.501160 44.361170
    Oben rechts KachelX + 1 67904 KachelY 47477 0.11351458 0.77424847 6.503906 44.361170
    Unten links KachelX 67903 KachelY + 1 47478 0.11346664 0.77421419 6.501160 44.359206
    Unten rechts KachelX + 1 67904 KachelY + 1 47478 0.11351458 0.77421419 6.503906 44.359206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77424847-0.77421419) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dl = 218.397879999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77424847-0.77421419) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dr = 218.397879999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11346664-0.11351458) × cos(0.77424847) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.714946689876996 × 6371000     		do = 218.363121816278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11346664-0.11351458) × cos(0.77421419) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.714970657311973 × 6371000     		du = 218.370442087842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77424847)-sin(0.77421419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714946689876996-0.714970657311973)×R²
    abs(0.11351458-0.11346664)×2.39674349775676e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39674349775676e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39674349775676e-05×40589641000000     		ar = 47690.8422452975m²