Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67901 / 47261
↖ ↑ ↗
← N 44.783784°
E  6.495667°		 ← 216.74 m → N 44.783784°
E  6.498413°		 →
↑
216.74 m
↓
↑
216.74 m
↓
N 44.781835°
E  6.495667°		 ← 216.74 m →
46 977 m²		 N 44.781835°
E  6.498413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518047332763672 y=0.360576629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518047332763672 × 217)
    floor (0.518047332763672 × 131072)
    floor (67901.5)     		tx = 67901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360576629638672 × 217)
    floor (0.360576629638672 × 131072)
    floor (47261.5)     		ty = 47261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67901 / 47261 ti = "17/67901/47261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67901/47261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67901 ÷ 217
    67901 ÷ 131072     		x = 0.518043518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47261 ÷ 217
    47261 ÷ 131072     		y = 0.360572814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518043518066406 × 2 - 1) × π
    0.0360870361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11337077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360572814941406 × 2 - 1) × π
    0.278854370117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.876046840556526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11337077} λ = 0.11337077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876046840556526))-π/2
    2×atan(2.40138784880757)-π/2
    2×1.17621040906167-π/2
    2.35242081812334-1.57079632675     		φ = 0.78162449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11337077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.495667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78162449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.783784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67901 KachelY 47261 0.11337077 0.78162449 6.495667 44.783784
    Oben rechts KachelX + 1 67902 KachelY 47261 0.11341870 0.78162449 6.498413 44.783784
    Unten links KachelX 67901 KachelY + 1 47262 0.11337077 0.78159047 6.495667 44.781835
    Unten rechts KachelX + 1 67902 KachelY + 1 47262 0.11341870 0.78159047 6.498413 44.781835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78162449-0.78159047) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dl = 216.741419999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78162449-0.78159047) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dr = 216.741419999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11337077-0.11341870) × cos(0.78162449) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.709770130092324 × 6371000     		do = 216.736847758363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11337077-0.11341870) × cos(0.78159047) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.709794094504587 × 6371000     		du = 216.74416557994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78162449)-sin(0.78159047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709770130092324-0.709794094504587)×R²
    abs(0.11341870-0.11337077)×2.39644122631555e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39644122631555e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39644122631555e-05×40589641000000     		ar = 46976.6451913878m²