Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6790 / 8075
↖ ↑ ↗
← N 79.291418°
W142.701416°		 ← 113.50 m → N 79.291418°
W142.695923°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
N 79.290397°
W142.701416°		 ← 113.52 m →
12 887 m²		 N 79.290397°
W142.695923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103614807128906 y=0.123222351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103614807128906 × 216)
    floor (0.103614807128906 × 65536)
    floor (6790.5)     		tx = 6790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123222351074219 × 216)
    floor (0.123222351074219 × 65536)
    floor (8075.5)     		ty = 8075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6790 / 8075 ti = "16/6790/8075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6790/8075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6790 ÷ 216
    6790 ÷ 65536     		x = 0.103607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8075 ÷ 216
    8075 ÷ 65536     		y = 0.123214721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103607177734375 × 2 - 1) × π
    -0.79278564453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49060956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123214721679688 × 2 - 1) × π
    0.753570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36741172463609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49060956} λ = -2.49060956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36741172463609))-π/2
    2×atan(10.6697402881311)-π/2
    2×1.47734631687914-π/2
    2.95469263375828-1.57079632675     		φ = 1.38389631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49060956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.701416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38389631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.291418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6790 KachelY 8075 -2.49060956 1.38389631 -142.701416 79.291418
    Oben rechts KachelX + 1 6791 KachelY 8075 -2.49051368 1.38389631 -142.695923 79.291418
    Unten links KachelX 6790 KachelY + 1 8076 -2.49060956 1.38387849 -142.701416 79.290397
    Unten rechts KachelX + 1 6791 KachelY + 1 8076 -2.49051368 1.38387849 -142.695923 79.290397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38389631-1.38387849) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dl = 113.53121999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38389631-1.38387849) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dr = 113.53121999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49060956--2.49051368) × cos(1.38389631) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185813795759599 × 6371000     		do = 113.504632144094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49060956--2.49051368) × cos(1.38387849) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185831305394351 × 6371000     		du = 113.515327930397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38389631)-sin(1.38387849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185813795759599-0.185831305394351)×R²
    abs(-2.49051368--2.49060956)×1.75096347525272e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75096347525272e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75096347525272e-05×40589641000000     		ar = 12886.9265156982m²