Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67899 / 72415
↖ ↑ ↗
← S 18.560344°
E  6.490173°		 ← 289.54 m → S 18.560344°
E  6.492920°		 →
↑
289.50 m
↓
↑
289.50 m
↓
S 18.562947°
E  6.490173°		 ← 289.54 m →
83 821 m²		 S 18.562947°
E  6.492920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518032073974609 y=0.552486419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518032073974609 × 217)
    floor (0.518032073974609 × 131072)
    floor (67899.5)     		tx = 67899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552486419677734 × 217)
    floor (0.552486419677734 × 131072)
    floor (72415.5)     		ty = 72415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67899 / 72415 ti = "17/67899/72415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67899/72415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67899 ÷ 217
    67899 ÷ 131072     		x = 0.518028259277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72415 ÷ 217
    72415 ÷ 131072     		y = 0.552482604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518028259277344 × 2 - 1) × π
    0.0360565185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11327489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552482604980469 × 2 - 1) × π
    -0.104965209960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.329757932486366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11327489} λ = 0.11327489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329757932486366))-π/2
    2×atan(0.719097782577542)-π/2
    2×0.623428609177478-π/2
    1.24685721835496-1.57079632675     		φ = -0.32393911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11327489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.490173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32393911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.560344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67899 KachelY 72415 0.11327489 -0.32393911 6.490173 -18.560344
    Oben rechts KachelX + 1 67900 KachelY 72415 0.11332283 -0.32393911 6.492920 -18.560344
    Unten links KachelX 67899 KachelY + 1 72416 0.11327489 -0.32398455 6.490173 -18.562947
    Unten rechts KachelX + 1 67900 KachelY + 1 72416 0.11332283 -0.32398455 6.492920 -18.562947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32393911--0.32398455) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dl = 289.498240000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32393911--0.32398455) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dr = 289.498240000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11327489-0.11332283) × cos(-0.32393911) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947988944564583 × 6371000     		do = 289.540224905435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11327489-0.11332283) × cos(-0.32398455) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947974479886063 × 6371000     		du = 289.535807020294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32393911)-sin(-0.32398455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947988944564583-0.947974479886063)×R²
    abs(0.11332283-0.11327489)×1.44646785201763e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44646785201763e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44646785201763e-05×40589641000000     		ar = 83820.7460488152m²