Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67899 / 47263
↖ ↑ ↗
← N 44.779885°
E  6.490173°		 ← 216.80 m → N 44.779885°
E  6.492920°		 →
↑
216.81 m
↓
↑
216.81 m
↓
N 44.777936°
E  6.490173°		 ← 216.80 m →
47 003 m²		 N 44.777936°
E  6.492920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518032073974609 y=0.360591888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518032073974609 × 217)
    floor (0.518032073974609 × 131072)
    floor (67899.5)     		tx = 67899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360591888427734 × 217)
    floor (0.360591888427734 × 131072)
    floor (47263.5)     		ty = 47263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67899 / 47263 ti = "17/67899/47263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67899/47263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67899 ÷ 217
    67899 ÷ 131072     		x = 0.518028259277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47263 ÷ 217
    47263 ÷ 131072     		y = 0.360588073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518028259277344 × 2 - 1) × π
    0.0360565185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11327489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360588073730469 × 2 - 1) × π
    0.278823852539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.875950966757286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11327489} λ = 0.11327489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875950966757286))-π/2
    2×atan(2.40115762966723)-π/2
    2×1.17617638373329-π/2
    2.35235276746659-1.57079632675     		φ = 0.78155644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11327489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.490173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78155644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.779885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67899 KachelY 47263 0.11327489 0.78155644 6.490173 44.779885
    Oben rechts KachelX + 1 67900 KachelY 47263 0.11332283 0.78155644 6.492920 44.779885
    Unten links KachelX 67899 KachelY + 1 47264 0.11327489 0.78152241 6.490173 44.777936
    Unten rechts KachelX + 1 67900 KachelY + 1 47264 0.11332283 0.78152241 6.492920 44.777936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78155644-0.78152241) × R
    3.40300000000182e-05 × 6371000     		dl = 216.805130000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78155644-0.78152241) × R
    3.40300000000182e-05 × 6371000     		dr = 216.805130000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11327489-0.11332283) × cos(0.78155644) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709818065139213 × 6371000     		do = 216.796707810496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11327489-0.11332283) × cos(0.78152241) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709842034951841 × 6371000     		du = 216.804028808255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78155644)-sin(0.78152241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709818065139213-0.709842034951841)×R²
    abs(0.11332283-0.11327489)×2.39698126278665e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39698126278665e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39698126278665e-05×40589641000000     		ar = 47003.432039927m²