Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67897 / 47379
↖ ↑ ↗
← N 44.553292°
E  6.484680°		 ← 217.65 m → N 44.553292°
E  6.487427°		 →
↑
217.63 m
↓
↑
217.63 m
↓
N 44.551335°
E  6.484680°		 ← 217.65 m →
47 368 m²		 N 44.551335°
E  6.487427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518016815185547 y=0.361476898193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518016815185547 × 217)
    floor (0.518016815185547 × 131072)
    floor (67897.5)     		tx = 67897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361476898193359 × 217)
    floor (0.361476898193359 × 131072)
    floor (47379.5)     		ty = 47379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67897 / 47379 ti = "17/67897/47379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67897/47379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67897 ÷ 217
    67897 ÷ 131072     		x = 0.518013000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47379 ÷ 217
    47379 ÷ 131072     		y = 0.361473083496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518013000488281 × 2 - 1) × π
    0.0360260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11317902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361473083496094 × 2 - 1) × π
    0.277053833007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.87039028640136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11317902} λ = 0.11317902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87039028640136))-π/2
    2×atan(2.3878426141866)-π/2
    2×1.17419898311573-π/2
    2.34839796623147-1.57079632675     		φ = 0.77760164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11317902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.484680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77760164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.553292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67897 KachelY 47379 0.11317902 0.77760164 6.484680 44.553292
    Oben rechts KachelX + 1 67898 KachelY 47379 0.11322696 0.77760164 6.487427 44.553292
    Unten links KachelX 67897 KachelY + 1 47380 0.11317902 0.77756748 6.484680 44.551335
    Unten rechts KachelX + 1 67898 KachelY + 1 47380 0.11322696 0.77756748 6.487427 44.551335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77760164-0.77756748) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dl = 217.633360000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77760164-0.77756748) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dr = 217.633360000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11317902-0.11322696) × cos(0.77760164) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.712598208990265 × 6371000     		do = 217.64583530351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11317902-0.11322696) × cos(0.77756748) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.712622174286706 × 6371000     		du = 217.653154921909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77760164)-sin(0.77756748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712598208990265-0.712622174286706)×R²
    abs(0.11322696-0.11317902)×2.39652964405535e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39652964405535e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39652964405535e-05×40589641000000     		ar = 47367.7909281057m²