Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67895 / 69063
↖ ↑ ↗
← S  9.641369°
E  6.479187°		 ← 301.05 m → S  9.641369°
E  6.481933°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.644077°
E  6.479187°		 ← 301.05 m →
90 643 m²		 S  9.644077°
E  6.481933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518001556396484 y=0.526912689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518001556396484 × 217)
    floor (0.518001556396484 × 131072)
    floor (67895.5)     		tx = 67895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526912689208984 × 217)
    floor (0.526912689208984 × 131072)
    floor (69063.5)     		ty = 69063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67895 / 69063 ti = "17/67895/69063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67895/69063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67895 ÷ 217
    67895 ÷ 131072     		x = 0.517997741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69063 ÷ 217
    69063 ÷ 131072     		y = 0.526908874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517997741699219 × 2 - 1) × π
    0.0359954833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11308315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526908874511719 × 2 - 1) × π
    -0.0538177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.169073444959938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11308315} λ = 0.11308315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169073444959938))-π/2
    2×atan(0.844446880741111)-π/2
    2×0.701261345032557-π/2
    1.40252269006511-1.57079632675     		φ = -0.16827364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11308315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.479187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16827364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.641369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67895 KachelY 69063 0.11308315 -0.16827364 6.479187 -9.641369
    Oben rechts KachelX + 1 67896 KachelY 69063 0.11313108 -0.16827364 6.481933 -9.641369
    Unten links KachelX 67895 KachelY + 1 69064 0.11308315 -0.16832090 6.479187 -9.644077
    Unten rechts KachelX + 1 67896 KachelY + 1 69064 0.11313108 -0.16832090 6.481933 -9.644077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16827364--0.16832090) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16827364--0.16832090) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11308315-0.11313108) × cos(-0.16827364) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985875367726555 × 6371000     		do = 301.048903615987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11308315-0.11313108) × cos(-0.16832090) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985867451491302 × 6371000     		du = 301.04648629832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16827364)-sin(-0.16832090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985875367726555-0.985867451491302)×R²
    abs(0.11313108-0.11308315)×7.91623525253637e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.91623525253637e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.91623525253637e-06×40589641000000     		ar = 90643.4921165139m²