Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67895 / 47271
↖ ↑ ↗
← N 44.764287°
E  6.479187°		 ← 216.81 m → N 44.764287°
E  6.481933°		 →
↑
216.81 m
↓
↑
216.81 m
↓
N 44.762337°
E  6.479187°		 ← 216.82 m →
47 006 m²		 N 44.762337°
E  6.481933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518001556396484 y=0.360652923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518001556396484 × 217)
    floor (0.518001556396484 × 131072)
    floor (67895.5)     		tx = 67895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360652923583984 × 217)
    floor (0.360652923583984 × 131072)
    floor (47271.5)     		ty = 47271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67895 / 47271 ti = "17/67895/47271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67895/47271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67895 ÷ 217
    67895 ÷ 131072     		x = 0.517997741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47271 ÷ 217
    47271 ÷ 131072     		y = 0.360649108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517997741699219 × 2 - 1) × π
    0.0359954833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11308315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360649108886719 × 2 - 1) × π
    0.278701782226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.875567471560326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11308315} λ = 0.11308315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875567471560326))-π/2
    2×atan(2.40023697379394)-π/2
    2×1.17604025944103-π/2
    2.35208051888207-1.57079632675     		φ = 0.78128419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11308315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.479187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78128419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.764287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67895 KachelY 47271 0.11308315 0.78128419 6.479187 44.764287
    Oben rechts KachelX + 1 67896 KachelY 47271 0.11313108 0.78128419 6.481933 44.764287
    Unten links KachelX 67895 KachelY + 1 47272 0.11308315 0.78125016 6.479187 44.762337
    Unten rechts KachelX + 1 67896 KachelY + 1 47272 0.11313108 0.78125016 6.481933 44.762337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78128419-0.78125016) × R
    3.40300000000182e-05 × 6371000     		dl = 216.805130000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78128419-0.78125016) × R
    3.40300000000182e-05 × 6371000     		dr = 216.805130000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11308315-0.11313108) × cos(0.78128419) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.710009807663868 × 6371000     		do = 216.810036188156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11308315-0.11313108) × cos(0.78125016) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.710033770899269 × 6371000     		du = 216.817353650363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78128419)-sin(0.78125016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710009807663868-0.710033770899269)×R²
    abs(0.11313108-0.11308315)×2.39632354003261e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39632354003261e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39632354003261e-05×40589641000000     		ar = 47006.321317284m²