Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67891 / 47476
↖ ↑ ↗
← N 44.363133°
E  6.468201°		 ← 218.36 m → N 44.363133°
E  6.470948°		 →
↑
218.33 m
↓
↑
218.33 m
↓
N 44.361170°
E  6.468201°		 ← 218.36 m →
47 675 m²		 N 44.361170°
E  6.470948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517971038818359 y=0.362216949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517971038818359 × 217)
    floor (0.517971038818359 × 131072)
    floor (67891.5)     		tx = 67891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362216949462891 × 217)
    floor (0.362216949462891 × 131072)
    floor (47476.5)     		ty = 47476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67891 / 47476 ti = "17/67891/47476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67891/47476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67891 ÷ 217
    67891 ÷ 131072     		x = 0.517967224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47476 ÷ 217
    47476 ÷ 131072     		y = 0.362213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517967224121094 × 2 - 1) × π
    0.0359344482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11289140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362213134765625 × 2 - 1) × π
    0.27557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.865740407138214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11289140} λ = 0.11289140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865740407138214))-π/2
    2×atan(2.37676520858958)-π/2
    2×1.17253953305684-π/2
    2.34507906611367-1.57079632675     		φ = 0.77428274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11289140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.468201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77428274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.363133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67891 KachelY 47476 0.11289140 0.77428274 6.468201 44.363133
    Oben rechts KachelX + 1 67892 KachelY 47476 0.11293934 0.77428274 6.470948 44.363133
    Unten links KachelX 67891 KachelY + 1 47477 0.11289140 0.77424847 6.468201 44.361170
    Unten rechts KachelX + 1 67892 KachelY + 1 47477 0.11293934 0.77424847 6.470948 44.361170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77428274-0.77424847) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dl = 218.334170000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77428274-0.77424847) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dr = 218.334170000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11289140-0.11293934) × cos(0.77428274) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714922728593905 × 6371000     		do = 218.355803423596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11289140-0.11293934) × cos(0.77424847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714946689876996 × 6371000     		du = 218.363121816215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77428274)-sin(0.77424847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714922728593905-0.714946689876996)×R²
    abs(0.11293934-0.11289140)×2.39612830900127e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39612830900127e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39612830900127e-05×40589641000000     		ar = 47675.33203753m²