Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6789 / 1614
↖ ↑ ↗
← N 80.823902°
W 30.827637°		 ← 389.62 m → N 80.823902°
W 30.805664°		 →
↑
389.71 m
↓
↑
389.71 m
↓
N 80.820397°
W 30.827637°		 ← 389.77 m →
151 868 m²		 N 80.820397°
W 30.805664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414398193359375 y=0.098541259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414398193359375 × 214)
    floor (0.414398193359375 × 16384)
    floor (6789.5)     		tx = 6789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.098541259765625 × 214)
    floor (0.098541259765625 × 16384)
    floor (1614.5)     		ty = 1614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6789 / 1614 ti = "14/6789/1614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6789/1614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6789 ÷ 214
    6789 ÷ 16384     		x = 0.41436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1614 ÷ 214
    1614 ÷ 16384     		y = 0.0985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.1712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53804376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985107421875 × 2 - 1) × π
    0.802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52263140560584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53804376} λ = -0.53804376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52263140560584))-π/2
    2×atan(12.4613444099161)-π/2
    2×1.49071976088815-π/2
    2.9814395217763-1.57079632675     		φ = 1.41064320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53804376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.827637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41064320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.823902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6789 KachelY 1614 -0.53804376 1.41064320 -30.827637 80.823902
    Oben rechts KachelX + 1 6790 KachelY 1614 -0.53766027 1.41064320 -30.805664 80.823902
    Unten links KachelX 6789 KachelY + 1 1615 -0.53804376 1.41058203 -30.827637 80.820397
    Unten rechts KachelX + 1 6790 KachelY + 1 1615 -0.53766027 1.41058203 -30.805664 80.820397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41064320-1.41058203) × R
    6.11699999999438e-05 × 6371000     		dl = 389.714069999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41064320-1.41058203) × R
    6.11699999999438e-05 × 6371000     		dr = 389.714069999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53804376--0.53766027) × cos(1.41064320) × R
    0.000383489999999931 × 0.159469375695561 × 6371000     		do = 389.617937251391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53804376--0.53766027) × cos(1.41058203) × R
    0.000383489999999931 × 0.159529762597094 × 6371000     		du = 389.765475422339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41064320)-sin(1.41058203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159469375695561-0.159529762597094)×R²
    abs(-0.53766027--0.53804376)×6.03869015332326e-05×R²
    0.000383489999999931×6.03869015332326e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.03869015332326e-05×40589641000000     		ar = 151868.340968127m²