Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67889 / 47473
↖ ↑ ↗
← N 44.369024°
E  6.462707°		 ← 218.33 m → N 44.369024°
E  6.465454°		 →
↑
218.33 m
↓
↑
218.33 m
↓
N 44.367060°
E  6.462707°		 ← 218.34 m →
47 671 m²		 N 44.367060°
E  6.465454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517955780029297 y=0.362194061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517955780029297 × 217)
    floor (0.517955780029297 × 131072)
    floor (67889.5)     		tx = 67889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362194061279297 × 217)
    floor (0.362194061279297 × 131072)
    floor (47473.5)     		ty = 47473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67889 / 47473 ti = "17/67889/47473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67889/47473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67889 ÷ 217
    67889 ÷ 131072     		x = 0.517951965332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47473 ÷ 217
    47473 ÷ 131072     		y = 0.362190246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517951965332031 × 2 - 1) × π
    0.0359039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11279552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362190246582031 × 2 - 1) × π
    0.275619506835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.865884217837074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11279552} λ = 0.11279552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865884217837074))-π/2
    2×atan(2.37710703743399)-π/2
    2×1.17259093724093-π/2
    2.34518187448186-1.57079632675     		φ = 0.77438555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11279552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.462707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77438555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.369024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67889 KachelY 47473 0.11279552 0.77438555 6.462707 44.369024
    Oben rechts KachelX + 1 67890 KachelY 47473 0.11284346 0.77438555 6.465454 44.369024
    Unten links KachelX 67889 KachelY + 1 47474 0.11279552 0.77435128 6.462707 44.367060
    Unten rechts KachelX + 1 67890 KachelY + 1 47474 0.11284346 0.77435128 6.465454 44.367060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77438555-0.77435128) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dl = 218.334170000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77438555-0.77435128) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dr = 218.334170000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11279552-0.11284346) × cos(0.77438555) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.714850839706975 × 6371000     		do = 218.333846707171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11279552-0.11284346) × cos(0.77435128) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.714874803508867 × 6371000     		du = 218.341165869097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77438555)-sin(0.77435128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714850839706975-0.714874803508867)×R²
    abs(0.11284346-0.11279552)×2.39638018918464e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39638018918464e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39638018918464e-05×40589641000000     		ar = 47670.5382200485m²