Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67886 / 47455
↖ ↑ ↗
← N 44.404354°
E  6.454468°		 ← 218.20 m → N 44.404354°
E  6.457214°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
N 44.402392°
E  6.454468°		 ← 218.21 m →
47 614 m²		 N 44.402392°
E  6.457214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517932891845703 y=0.362056732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517932891845703 × 217)
    floor (0.517932891845703 × 131072)
    floor (67886.5)     		tx = 67886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362056732177734 × 217)
    floor (0.362056732177734 × 131072)
    floor (47455.5)     		ty = 47455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67886 / 47455 ti = "17/67886/47455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67886/47455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67886 ÷ 217
    67886 ÷ 131072     		x = 0.517929077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47455 ÷ 217
    47455 ÷ 131072     		y = 0.362052917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517929077148438 × 2 - 1) × π
    0.035858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11265171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362052917480469 × 2 - 1) × π
    0.275894165039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.866747082030235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11265171} λ = 0.11265171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.866747082030235))-π/2
    2×atan(2.37915904315371)-π/2
    2×1.17289925379306-π/2
    2.34579850758612-1.57079632675     		φ = 0.77500218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11265171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.454468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77500218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.404354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67886 KachelY 47455 0.11265171 0.77500218 6.454468 44.404354
    Oben rechts KachelX + 1 67887 KachelY 47455 0.11269965 0.77500218 6.457214 44.404354
    Unten links KachelX 67886 KachelY + 1 47456 0.11265171 0.77496793 6.454468 44.402392
    Unten rechts KachelX + 1 67887 KachelY + 1 47456 0.11269965 0.77496793 6.457214 44.402392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77500218-0.77496793) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dl = 218.206750000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77500218-0.77496793) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dr = 218.206750000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11265171-0.11269965) × cos(0.77500218) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714419508673189 × 6371000     		do = 218.202107106929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11265171-0.11269965) × cos(0.77496793) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714443473583078 × 6371000     		du = 218.209426607265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77500218)-sin(0.77496793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714419508673189-0.714443473583078)×R²
    abs(0.11269965-0.11265171)×2.39649098887629e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39649098887629e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39649098887629e-05×40589641000000     		ar = 47613.9712216796m²