Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67883 / 68394
↖ ↑ ↗
← S  7.825290°
E  6.446228°		 ← 302.58 m → S  7.825290°
E  6.448975°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.828011°
E  6.446228°		 ← 302.58 m →
91 548 m²		 S  7.828011°
E  6.448975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517910003662109 y=0.521808624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517910003662109 × 217)
    floor (0.517910003662109 × 131072)
    floor (67883.5)     		tx = 67883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521808624267578 × 217)
    floor (0.521808624267578 × 131072)
    floor (68394.5)     		ty = 68394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67883 / 68394 ti = "17/67883/68394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67883/68394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67883 ÷ 217
    67883 ÷ 131072     		x = 0.517906188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68394 ÷ 217
    68394 ÷ 131072     		y = 0.521804809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517906188964844 × 2 - 1) × π
    0.0358123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11250790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521804809570312 × 2 - 1) × π
    -0.043609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.13700365911412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11250790} λ = 0.11250790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.13700365911412))-π/2
    2×atan(0.87196703549938)-π/2
    2×0.717109630290567-π/2
    1.43421926058113-1.57079632675     		φ = -0.13657707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11250790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.446228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13657707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.825290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67883 KachelY 68394 0.11250790 -0.13657707 6.446228 -7.825290
    Oben rechts KachelX + 1 67884 KachelY 68394 0.11255584 -0.13657707 6.448975 -7.825290
    Unten links KachelX 67883 KachelY + 1 68395 0.11250790 -0.13662456 6.446228 -7.828011
    Unten rechts KachelX + 1 67884 KachelY + 1 68395 0.11255584 -0.13662456 6.448975 -7.828011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13657707--0.13662456) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13657707--0.13662456) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11250790-0.11255584) × cos(-0.13657707) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.990687840690993 × 6371000     		do = 302.581566852113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11250790-0.11255584) × cos(-0.13662456) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.990681373674347 × 6371000     		du = 302.579591658768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13657707)-sin(-0.13662456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990687840690993-0.990681373674347)×R²
    abs(0.11255584-0.11250790)×6.46701664619442e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.46701664619442e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.46701664619442e-06×40589641000000     		ar = 91548.4139542209m²