Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67883 / 47465
↖ ↑ ↗
← N 44.384729°
E  6.446228°		 ← 218.28 m → N 44.384729°
E  6.448975°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
N 44.382766°
E  6.446228°		 ← 218.28 m →
47 644 m²		 N 44.382766°
E  6.448975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517910003662109 y=0.362133026123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517910003662109 × 217)
    floor (0.517910003662109 × 131072)
    floor (67883.5)     		tx = 67883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362133026123047 × 217)
    floor (0.362133026123047 × 131072)
    floor (47465.5)     		ty = 47465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67883 / 47465 ti = "17/67883/47465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67883/47465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67883 ÷ 217
    67883 ÷ 131072     		x = 0.517906188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47465 ÷ 217
    47465 ÷ 131072     		y = 0.362129211425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517906188964844 × 2 - 1) × π
    0.0358123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11250790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362129211425781 × 2 - 1) × π
    0.275741577148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.866267713034035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11250790} λ = 0.11250790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.866267713034035))-π/2
    2×atan(2.37801882138671)-π/2
    2×1.17272798979384-π/2
    2.34545597958768-1.57079632675     		φ = 0.77465965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11250790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.446228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77465965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.384729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67883 KachelY 47465 0.11250790 0.77465965 6.446228 44.384729
    Oben rechts KachelX + 1 67884 KachelY 47465 0.11255584 0.77465965 6.448975 44.384729
    Unten links KachelX 67883 KachelY + 1 47466 0.11250790 0.77462539 6.446228 44.382766
    Unten rechts KachelX + 1 67884 KachelY + 1 47466 0.11255584 0.77462539 6.448975 44.382766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77465965-0.77462539) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77465965-0.77462539) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11250790-0.11255584) × cos(0.77465965) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.714659141038983 × 6371000     		do = 218.275296999642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11250790-0.11255584) × cos(0.77462539) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.714683104560488 × 6371000     		du = 218.282616075931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77465965)-sin(0.77462539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714659141038983-0.714683104560488)×R²
    abs(0.11255584-0.11250790)×2.39635215051326e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39635215051326e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39635215051326e-05×40589641000000     		ar = 47643.8482566012m²