Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67879 / 68391
↖ ↑ ↗
← S  7.817126°
E  6.435242°		 ← 302.52 m → S  7.817126°
E  6.437988°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.819847°
E  6.435242°		 ← 302.52 m →
91 531 m²		 S  7.819847°
E  6.437988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517879486083984 y=0.521785736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517879486083984 × 217)
    floor (0.517879486083984 × 131072)
    floor (67879.5)     		tx = 67879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521785736083984 × 217)
    floor (0.521785736083984 × 131072)
    floor (68391.5)     		ty = 68391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67879 / 68391 ti = "17/67879/68391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67879/68391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67879 ÷ 217
    67879 ÷ 131072     		x = 0.517875671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68391 ÷ 217
    68391 ÷ 131072     		y = 0.521781921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517875671386719 × 2 - 1) × π
    0.0357513427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11231616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521781921386719 × 2 - 1) × π
    -0.0435638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.13685984841526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11231616} λ = 0.11231616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.13685984841526))-π/2
    2×atan(0.872092442705371)-π/2
    2×0.717180866743135-π/2
    1.43436173348627-1.57079632675     		φ = -0.13643459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11231616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.435242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13643459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.817126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67879 KachelY 68391 0.11231616 -0.13643459 6.435242 -7.817126
    Oben rechts KachelX + 1 67880 KachelY 68391 0.11236409 -0.13643459 6.437988 -7.817126
    Unten links KachelX 67879 KachelY + 1 68392 0.11231616 -0.13648208 6.435242 -7.819847
    Unten rechts KachelX + 1 67880 KachelY + 1 68392 0.11236409 -0.13648208 6.437988 -7.819847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13643459--0.13648208) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13643459--0.13648208) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11231616-0.11236409) × cos(-0.13643459) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9907072296952 × 6371000     		do = 302.524370795413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11231616-0.11236409) × cos(-0.13648208) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990700769381963 × 6371000     		du = 302.522398061048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13643459)-sin(-0.13648208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9907072296952-0.990700769381963)×R²
    abs(0.11236409-0.11231616)×6.46031323681129e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.46031323681129e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.46031323681129e-06×40589641000000     		ar = 91531.1091565686m²