Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67878 / 47470
↖ ↑ ↗
← N 44.374914°
E  6.432495°		 ← 218.31 m → N 44.374914°
E  6.435242°		 →
↑
218.33 m
↓
↑
218.33 m
↓
N 44.372950°
E  6.432495°		 ← 218.32 m →
47 666 m²		 N 44.372950°
E  6.435242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517871856689453 y=0.362171173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517871856689453 × 217)
    floor (0.517871856689453 × 131072)
    floor (67878.5)     		tx = 67878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362171173095703 × 217)
    floor (0.362171173095703 × 131072)
    floor (47470.5)     		ty = 47470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67878 / 47470 ti = "17/67878/47470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67878/47470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67878 ÷ 217
    67878 ÷ 131072     		x = 0.517868041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47470 ÷ 217
    47470 ÷ 131072     		y = 0.362167358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517868041992188 × 2 - 1) × π
    0.035736083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11226822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362167358398438 × 2 - 1) × π
    0.275665283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.866028028535934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11226822} λ = 0.11226822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.866028028535934))-π/2
    2×atan(2.37744891544057)-π/2
    2×1.1726423362559-π/2
    2.3452846725118-1.57079632675     		φ = 0.77448835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11226822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.432495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77448835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.374914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67878 KachelY 47470 0.11226822 0.77448835 6.432495 44.374914
    Oben rechts KachelX + 1 67879 KachelY 47470 0.11231616 0.77448835 6.435242 44.374914
    Unten links KachelX 67878 KachelY + 1 47471 0.11226822 0.77445408 6.432495 44.372950
    Unten rechts KachelX + 1 67879 KachelY + 1 47471 0.11231616 0.77445408 6.435242 44.372950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77448835-0.77445408) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dl = 218.334170000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77448835-0.77445408) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dr = 218.334170000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11226822-0.11231616) × cos(0.77448835) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714778950257651 × 6371000     		do = 218.311889818849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11226822-0.11231616) × cos(0.77445408) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714802916577846 × 6371000     		du = 218.31920974993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77448835)-sin(0.77445408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714778950257651-0.714802916577846)×R²
    abs(0.11231616-0.11226822)×2.39663201955231e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39663201955231e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39663201955231e-05×40589641000000     		ar = 47665.7443649494m²