Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67874 / 68854
↖ ↑ ↗
← S  9.074976°
E  6.421509°		 ← 301.60 m → S  9.074976°
E  6.424255°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.077688°
E  6.421509°		 ← 301.60 m →
90 945 m²		 S  9.077688°
E  6.424255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517841339111328 y=0.525318145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517841339111328 × 217)
    floor (0.517841339111328 × 131072)
    floor (67874.5)     		tx = 67874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525318145751953 × 217)
    floor (0.525318145751953 × 131072)
    floor (68854.5)     		ty = 68854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67874 / 68854 ti = "17/67874/68854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67874/68854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67874 ÷ 217
    67874 ÷ 131072     		x = 0.517837524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68854 ÷ 217
    68854 ÷ 131072     		y = 0.525314331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517837524414062 × 2 - 1) × π
    0.035675048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11207647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525314331054688 × 2 - 1) × π
    -0.050628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.159054632939346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11207647} λ = 0.11207647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159054632939346))-π/2
    2×atan(0.85294975854376)-π/2
    2×0.706204060297075-π/2
    1.41240812059415-1.57079632675     		φ = -0.15838821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11207647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.421509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15838821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.074976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67874 KachelY 68854 0.11207647 -0.15838821 6.421509 -9.074976
    Oben rechts KachelX + 1 67875 KachelY 68854 0.11212441 -0.15838821 6.424255 -9.074976
    Unten links KachelX 67874 KachelY + 1 68855 0.11207647 -0.15843554 6.421509 -9.077688
    Unten rechts KachelX + 1 67875 KachelY + 1 68855 0.11212441 -0.15843554 6.424255 -9.077688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15838821--0.15843554) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dl = 301.539430000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15838821--0.15843554) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dr = 301.539430000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11207647-0.11212441) × cos(-0.15838821) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987482788414368 × 6371000     		do = 301.602661388698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11207647-0.11212441) × cos(-0.15843554) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98747532209901 × 6371000     		du = 301.600380983805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15838821)-sin(-0.15843554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987482788414368-0.98747532209901)×R²
    abs(0.11212441-0.11207647)×7.46631535764042e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.46631535764042e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.46631535764042e-06×40589641000000     		ar = 90944.7508026438m²